Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{3 x^{3} + 5}{x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 3 x^{3} + 5$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 5] - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{3} + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{x (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5]) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{x (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x (9 x^{2} + 0) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.6

Additionnez $9 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{x (9 x^{2}) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 (x^{1} x^{2}) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9 x^{1 + 2} - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{9 x^{3} - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{9 x^{3} - (3 x^{3} + 5) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{9 x^{3} - (3 x^{3} + 5)}{x^{2}}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 x^{3} - (3 x^{3}) - 1 \cdot 5}{x^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{9 x^{3} - 3 x^{3} - 1 \cdot 5}{x^{2}}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{9 x^{3} - 3 x^{3} - 5}{x^{2}}$

Étape 8.2.2

Soustrayez $3 x^{3}$ de $9 x^{3}$ .

$\frac{6 x^{3} - 5}{x^{2}}$