Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{3 x^{2} + 2 e^{x}}{5 e^{x} - 4 x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 3 x^{2} + 2 e^{x}$ et $g (x) = 5 e^{x} - 4 x$ .

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 e^{x}] - (3 x^{2} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 4 x]}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 2 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 4 x]}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 4 x]}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 4 x]}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 4 x]}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 2.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 4 x]}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 e^{x}) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 4 x]}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 e^{x} - 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 e^{x}) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) (\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 4.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 e^{x}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 e^{x}) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) (5 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 e^{x}) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) (5 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 4 x])}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 e^{x}) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) (5 e^{x} - 4 \frac{d}{d x} [x])}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 e^{x}) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) (5 e^{x} - 4 \cdot 1)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 6.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 e^{x}) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Développez $(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 e^{x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 e^{x} (6 x + 2 e^{x}) - 4 x (6 x + 2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 e^{x} (6 x) + 5 e^{x} (2 e^{x}) - 4 x (6 x + 2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 e^{x} (6 x) + 5 e^{x} (2 e^{x}) - 4 x (6 x) - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{5 \cdot 6 e^{x} x + 5 e^{x} (2 e^{x}) - 4 x (6 x) - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2.1.2

Multipliez $5$ par $6$ .

$\frac{30 e^{x} x + 5 e^{x} (2 e^{x}) - 4 x (6 x) - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{30 e^{x} x + 5 \cdot 2 e^{x} e^{x} - 4 x (6 x) - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2.1.4

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.1.2.1.4.1

Déplacez $e^{x}$ .

$\frac{30 e^{x} x + 5 \cdot 2 (e^{x} e^{x}) - 4 x (6 x) - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2.1.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{30 e^{x} x + 5 \cdot 2 e^{x + x} - 4 x (6 x) - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2.1.4.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{30 e^{x} x + 5 \cdot 2 e^{2 x} - 4 x (6 x) - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2.1.5

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{30 e^{x} x + 10 e^{2 x} - 4 x (6 x) - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{30 e^{x} x + 10 e^{2 x} - 4 \cdot 6 x \cdot x - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2.1.7

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.1.2.1.7.1

Déplacez $x$ .

$\frac{30 e^{x} x + 10 e^{2 x} - 4 \cdot 6 (x \cdot x) - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2.1.7.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{30 e^{x} x + 10 e^{2 x} - 4 \cdot 6 x^{2} - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2.1.8

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$\frac{30 e^{x} x + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2.1.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{30 e^{x} x + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 4 \cdot 2 x e^{x} + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2.1.10

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$\frac{30 e^{x} x + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 8 x e^{x} + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2.2

Soustrayez $8 x e^{x}$ de $30 e^{x} x$ .

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Étape 7.2.1.2.2.1

Déplacez $e^{x}$ .

$\frac{30 x e^{x} - 8 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2.2.2

Soustrayez $8 x e^{x}$ de $30 x e^{x}$ .

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.3.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} + (- 3 x^{2} - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} + (- 3 x^{2} - 2 e^{x}) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.4

Développez $(- 3 x^{2} - 2 e^{x}) (5 e^{x} - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.2.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 3 x^{2} (5 e^{x} - 4) - 2 e^{x} (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 3 x^{2} (5 e^{x}) - 3 x^{2} \cdot - 4 - 2 e^{x} (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 3 x^{2} (5 e^{x}) - 3 x^{2} \cdot - 4 - 2 e^{x} (5 e^{x}) - 2 e^{x} \cdot - 4}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 3 \cdot 5 x^{2} e^{x} - 3 x^{2} \cdot - 4 - 2 e^{x} (5 e^{x}) - 2 e^{x} \cdot - 4}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.5.2

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} - 3 x^{2} \cdot - 4 - 2 e^{x} (5 e^{x}) - 2 e^{x} \cdot - 4}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.5.3

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} - 2 e^{x} (5 e^{x}) - 2 e^{x} \cdot - 4}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.5.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} - 2 \cdot 5 e^{x} e^{x} - 2 e^{x} \cdot - 4}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.5.5

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.1.5.5.1

Déplacez $e^{x}$ .

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} - 2 \cdot 5 (e^{x} e^{x}) - 2 e^{x} \cdot - 4}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.5.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} - 2 \cdot 5 e^{x + x} - 2 e^{x} \cdot - 4}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.5.5.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} - 2 \cdot 5 e^{2 x} - 2 e^{x} \cdot - 4}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.5.6

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} - 10 e^{2 x} - 2 e^{x} \cdot - 4}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.5.7

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} - 10 e^{2 x} + 8 e^{x}}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Associez les termes opposés dans $22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} - 10 e^{2 x} + 8 e^{x}$ .

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $10 e^{2 x}$ de $10 e^{2 x}$ .

$\frac{22 x e^{x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} + 0 + 8 e^{x}}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $22 x e^{x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{22 x e^{x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} + 8 e^{x}}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7.2.3

Additionnez $- 24 x^{2}$ et $12 x^{2}$ .

$\frac{22 x e^{x} - 12 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 8 e^{x}}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

Étape 7.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 12 x^{2} + 22 e^{x} x - 15 e^{x} x^{2} + 8 e^{x}}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

Étape 7.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$\frac{- (12 x^{2}) + 22 e^{x} x - 15 e^{x} x^{2} + 8 e^{x}}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

Étape 7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $22 e^{x} x$ .

$\frac{- (12 x^{2}) - (- 22 e^{x} x) - 15 e^{x} x^{2} + 8 e^{x}}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

Étape 7.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (12 x^{2}) - (- 22 e^{x} x)$ .

$\frac{- (12 x^{2} - 22 e^{x} x) - 15 e^{x} x^{2} + 8 e^{x}}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

Étape 7.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 15 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{- (12 x^{2} - 22 e^{x} x) - (15 e^{x} x^{2}) + 8 e^{x}}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

Étape 7.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (12 x^{2} - 22 e^{x} x) - (15 e^{x} x^{2})$ .

$\frac{- (12 x^{2} - 22 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2}) + 8 e^{x}}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

Étape 7.9

Factorisez $- 1$ à partir de $8 e^{x}$ .

$\frac{- (12 x^{2} - 22 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2}) - (- 8 e^{x})}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

Étape 7.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (12 x^{2} - 22 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2}) - (- 8 e^{x})$ .

$\frac{- (12 x^{2} - 22 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2} - 8 e^{x})}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

Étape 7.11

Réécrivez $- (12 x^{2} - 22 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2} - 8 e^{x})$ comme $- 1 (12 x^{2} - 22 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2} - 8 e^{x})$ .

$\frac{- 1 (12 x^{2} - 22 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2} - 8 e^{x})}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

Étape 7.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{12 x^{2} - 22 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2} - 8 e^{x}}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

Étape 7.13

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{12 x^{2} - 22 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2} - 8 e^{x}}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$ .

$- \frac{12 x^{2} - 22 x e^{x} + 15 x^{2} e^{x} - 8 e^{x}}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$