Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{3 x^{2}}{2} - \frac{7}{5 x^{2}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{3 x^{2}}{2} - \frac{7}{5 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}]$ .

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Étape 2.1

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$

Étape 2.3

Associez $2$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$

Étape 2.5

Associez $\frac{6}{2}$ et $x$ .

$\frac{6 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$

Étape 2.6

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$\frac{2 (3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$

Étape 2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$

Étape 2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$

Étape 2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$

Étape 2.6.2.4

Divisez $3 x$ par $1$ .

$3 x + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- \frac{7}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{7}{5 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{7}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$3 x - \frac{7}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$3 x - \frac{7}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$3 x - \frac{7}{5} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$3 x - \frac{7}{5} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$3 x - \frac{7}{5} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x - \frac{7}{5} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Étape 3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x - \frac{7}{5} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$3 x - \frac{7}{5} (- x^{- 4} (2 x))$

Étape 3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 x - \frac{7}{5} (- 2 x^{- 4} x)$

Étape 3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 x - \frac{7}{5} (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Étape 3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x - \frac{7}{5} (- 2 x^{1 - 4})$

Étape 3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$3 x - \frac{7}{5} (- 2 x^{- 3})$

Étape 3.10

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$3 x + 2 (\frac{7}{5}) x^{- 3}$

Étape 3.11

Associez $2$ et $\frac{7}{5}$ .

$3 x + \frac{2 \cdot 7}{5} x^{- 3}$

Étape 3.12

Multipliez $2$ par $7$ .

$3 x + \frac{14}{5} x^{- 3}$

Étape 3.13

Associez $\frac{14}{5}$ et $x^{- 3}$ .

$3 x + \frac{14 x^{- 3}}{5}$

Étape 3.14

Placez $x^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x + \frac{14}{5 x^{3}}$