Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1 - \cos (x)}{x^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1 - \cos (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)] - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)] - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)] - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [- \cos (x)] - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{x^{2} (- - \sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} (1 \sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} \sin (x) - (1 - \cos (x)) (2 x)}{x^{4}}$

Étape 4.4

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (x) - 2 (1 - \cos (x)) x}{x^{4}}$

Étape 4.4.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} \sin (x) - 2 (1 - \cos (x)) x$ .

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Étape 4.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} \sin (x)$ .

$\frac{x (x \sin (x)) - 2 (1 - \cos (x)) x}{x^{4}}$

Étape 4.4.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 (1 - \cos (x)) x$ .

$\frac{x (x \sin (x)) + x (- 2 (1 - \cos (x)))}{x^{4}}$

Étape 4.4.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (x \sin (x)) + x (- 2 (1 - \cos (x)))$ .

$\frac{x (x \sin (x) - 2 (1 - \cos (x)))}{x^{4}}$

Étape 5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x (x \sin (x) - 2 (1 - \cos (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x \sin (x) - 2 (1 - \cos (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \sin (x) - 2 (1 - \cos (x))}{x^{3}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \sin (x) - 2 \cdot 1 - 2 (- \cos (x))}{x^{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{x \sin (x) - 2 - 2 (- \cos (x))}{x^{3}}$

Étape 6.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{x \sin (x) - 2 + 2 \cos (x)}{x^{3}}$