Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2 \sqrt{x^{3}}}{3}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{d}{d x} [\frac{2 \sqrt{x^{3}}}{3}]$ comme $\frac{d}{d x} [\frac{2 (x \sqrt{x})}{3}]$ .

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 \sqrt{x^{2} x}}{3}]$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (x \sqrt{x})}{3}]$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}})}{3}]$

Étape 3

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}{3}]$

Étape 3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}{3}]$

Étape 3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{3}]$

Étape 3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}{3}]$

Étape 3.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]$

Étape 4

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Étape 6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Étape 9.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Étape 10

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 11

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2}$

Étape 12

Multipliez.

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Étape 12.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2}$

Étape 12.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6}$

Étape 13

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6}$

Étape 14

Divisez $x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$x^{\frac{1}{2}}$