Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \sqrt[3]{4} x + \frac{2}{x^{2}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \sqrt[3]{4} x + \frac{2}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Étape 2.1

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Étape 2.6.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Étape 2.7

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Étape 2.8

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Étape 2.9

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Étape 2.10

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Étape 2.11

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Étape 2.12

Divisez $x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x]$ .

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Étape 3.1

Comme $- \sqrt[3]{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sqrt[3]{4} x$ par rapport à $x$ est $- \sqrt[3]{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Étape 3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$ .

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Étape 4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 4.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + 2 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + 2 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Étape 4.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 4.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + 2 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + 2 (- x^{- 4} (2 x))$

Étape 4.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + 2 (- 2 x^{- 4} x)$

Étape 4.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + 2 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Étape 4.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + 2 (- 2 x^{1 - 4})$

Étape 4.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + 2 (- 2 x^{- 3})$

Étape 4.10

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} - 4 x^{- 3}$

Étape 5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} - 4 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez des termes.

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Étape 6.1.1

Associez $- 4$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + \frac{- 4}{x^{3}}$

Étape 6.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} - \frac{4}{x^{3}}$

Étape 6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{4}{x^{3}} + x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4}$