Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{7 x^{2}}{4 e^{x} - x}$

Étape 1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{7 x^{2}}{4 e^{x} - x}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 e^{x} - x}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 e^{x} - x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 4 e^{x} - x$ .

$7 \frac{(4 e^{x} - x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [4 e^{x} - x]}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$7 \frac{(4 e^{x} - x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [4 e^{x} - x]}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 3.2

Déplacez $2$ à gauche de $4 e^{x} - x$ .

$7 \frac{2 \cdot (4 e^{x} - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [4 e^{x} - x]}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 e^{x} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [4 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 3.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 e^{x}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} + \frac{d}{d x} [- x])}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - \frac{d}{d x} [x])}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1 \cdot 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 5.3

Associez les fractions.

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Étape 5.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Associez $7$ et $\frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$ .

$\frac{7 (2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1))}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 ((2 (4 e^{x}) + 2 (- x)) x - x^{2} (4 e^{x} - 1))}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 (2 (4 e^{x}) x + 2 (- x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1))}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 (2 (4 e^{x}) x + 2 (- x) x - x^{2} (4 e^{x}) - x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 (2 (4 e^{x}) x) + 7 (2 (- x) x) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 6.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.5.1.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{7 (8 e^{x} x) + 7 (2 (- x) x) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 6.5.1.2

Multipliez $8$ par $7$ .

$\frac{56 (e^{x} x) + 7 (2 (- x) x) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 6.5.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.5.1.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{56 e^{x} x + 7 (2 (- (x \cdot x))) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 6.5.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{56 e^{x} x + 7 (2 (- x^{2})) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 6.5.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{56 e^{x} x + 7 (- 2 x^{2}) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 6.5.1.5

Multipliez $- 2$ par $7$ .

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 6.5.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} + 7 (- 1 \cdot 4 x^{2} e^{x}) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 6.5.1.7

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} + 7 (- 4 x^{2} e^{x}) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 6.5.1.8

Multipliez $- 4$ par $7$ .

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} - 28 (x^{2} e^{x}) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 6.5.1.9

Multipliez $- x^{2} \cdot - 1$ .

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Étape 6.5.1.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} - 28 x^{2} e^{x} + 7 (1 x^{2})}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 6.5.1.9.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} - 28 x^{2} e^{x} + 7 x^{2}}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 6.5.2

Additionnez $- 14 x^{2}$ et $7 x^{2}$ .

$\frac{56 e^{x} x - 7 x^{2} - 28 x^{2} e^{x}}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 6.5.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $56 e^{x} x - 7 x^{2} - 28 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{56 x e^{x} - 7 x^{2} - 28 x^{2} e^{x}}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 6.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 7 x^{2} + 56 e^{x} x - 28 e^{x} x^{2}}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Étape 6.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.7.1

Factorisez $7 x$ à partir de $- 7 x^{2} + 56 e^{x} x - 28 e^{x} x^{2}$ .

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Étape 6.7.1.1

Factorisez $7 x$ à partir de $- 7 x^{2}$ .

$\frac{7 x (- x) + 56 e^{x} x - 28 e^{x} x^{2}}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Étape 6.7.1.2

Factorisez $7 x$ à partir de $56 e^{x} x$ .

$\frac{7 x (- x) + 7 x (8 e^{x}) - 28 e^{x} x^{2}}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Étape 6.7.1.3

Factorisez $7 x$ à partir de $- 28 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{7 x (- x) + 7 x (8 e^{x}) + 7 x (- 4 e^{x} x)}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Étape 6.7.1.4

Factorisez $7 x$ à partir de $7 x (- x) + 7 x (8 e^{x})$ .

$\frac{7 x (- x + 8 e^{x}) + 7 x (- 4 e^{x} x)}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Étape 6.7.1.5

Factorisez $7 x$ à partir de $7 x (- x + 8 e^{x}) + 7 x (- 4 e^{x} x)$ .

$\frac{7 x (- x + 8 e^{x} - 4 e^{x} x)}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Étape 6.7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{7 x (- 4 e^{x} x - x + 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Étape 6.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 e^{x} x$ .

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x) - x + 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Étape 6.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x) - (x) + 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Étape 6.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 e^{x} x) - (x)$ .

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x + x) + 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Étape 6.11

Factorisez $- 1$ à partir de $8 e^{x}$ .

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x + x) - (- 8 e^{x}))}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Étape 6.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 e^{x} x + x) - (- 8 e^{x})$ .

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x + x - 8 e^{x}))}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Étape 6.13

Réécrivez $- (4 e^{x} x + x - 8 e^{x})$ comme $- 1 (4 e^{x} x + x - 8 e^{x})$ .

$\frac{7 x (- 1 (4 e^{x} x + x - 8 e^{x}))}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Étape 6.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(7 x) (4 e^{x} x + x - 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Étape 6.15

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(7 x) (4 e^{x} x + x - 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$ .

$- \frac{7 x (4 x e^{x} + x - 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$