Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.3

Multipliez ${(x^{2} + 3)}^{2}$ par $1$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 3$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 3$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 3$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 5.2

Factorisez $x^{2} + 3$ à partir de ${(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x^{2} + 3$ à partir de ${(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 5.2.2

Factorisez $x^{2} + 3$ à partir de $- 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 5.2.3

Factorisez $x^{2} + 3$ à partir de $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))$ .

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1

Factorisez $x^{2} + 3$ à partir de ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 9

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 10

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 10.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 14

Additionnez $1$ et $1$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 15

Soustrayez $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$6 \frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 16

Associez $6$ et $\frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$\frac{6 (- 3 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 17

Simplifiez

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Étape 17.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 (- 3 x^{2}) + 6 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 17.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.2.1

Multipliez $- 3$ par $6$ .

$\frac{- 18 x^{2} + 6 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 17.2.2

Multipliez $6$ par $3$ .

$\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$