Calcul infinitésimal Exemples

${\cos (8 x)}^{x}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 1.1

Réécrivez ${\cos (8 x)}^{x}$ comme $e^{\ln ({\cos (8 x)}^{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\cos (8 x)}^{x})}]$

Étape 1.2

Développez $\ln ({\cos (8 x)}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (\cos (8 x))}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x \ln (\cos (8 x))$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x \ln (\cos (8 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (8 x))]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (8 x))]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x \ln (\cos (8 x))$ .

$e^{x \ln (\cos (8 x))} \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (8 x))]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (\cos (8 x))$ .

$e^{x \ln (\cos (8 x))} (x \frac{d}{d x} [\ln (\cos (8 x))] + \ln (\cos (8 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \cos (8 x)$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\cos (8 x)$ .

$e^{x \ln (\cos (8 x))} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]) + \ln (\cos (8 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x \ln (\cos (8 x))} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]) + \ln (\cos (8 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\cos (8 x)$ .

$e^{x \ln (\cos (8 x))} (x (\frac{1}{\cos (8 x)} \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]) + \ln (\cos (8 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5

Convertissez de $\frac{1}{\cos (8 x)}$ à $\sec (8 x)$ .

$e^{x \ln (\cos (8 x))} (x (\sec (8 x) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]) + \ln (\cos (8 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 8 x$ .

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Étape 6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $8 x$ .

$e^{x \ln (\cos (8 x))} (x (\sec (8 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [8 x])) + \ln (\cos (8 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6.2

La dérivée de $\cos (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $- \sin (u_{3})$ .

$e^{x \ln (\cos (8 x))} (x (\sec (8 x) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [8 x])) + \ln (\cos (8 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $8 x$ .

$e^{x \ln (\cos (8 x))} (x (\sec (8 x) (- \sin (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])) + \ln (\cos (8 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7

Différenciez.

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Étape 7.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x \ln (\cos (8 x))} (x (\sec (8 x) (- \sin (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]))) + \ln (\cos (8 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$e^{x \ln (\cos (8 x))} (x (\sec (8 x) (- 8 \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\cos (8 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x \ln (\cos (8 x))} (x (\sec (8 x) (- 8 \sin (8 x) \cdot 1)) + \ln (\cos (8 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7.4

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$e^{x \ln (\cos (8 x))} (x (\sec (8 x) (- 8 \sin (8 x))) + \ln (\cos (8 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x \ln (\cos (8 x))} (x (\sec (8 x) (- 8 \sin (8 x))) + \ln (\cos (8 x)) \cdot 1)$

Étape 7.6

Multipliez $\ln (\cos (8 x))$ par $1$ .

$e^{x \ln (\cos (8 x))} (x (\sec (8 x) (- 8 \sin (8 x))) + \ln (\cos (8 x)))$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x \ln (\cos (8 x))} (x (\sec (8 x) (- 8 \sin (8 x)))) + e^{x \ln (\cos (8 x))} \ln (\cos (8 x))$

Étape 8.2

Supprimez les parenthèses.

$e^{x \ln (\cos (8 x))} x \sec (8 x) (- 8 \sin (8 x)) + e^{x \ln (\cos (8 x))} \ln (\cos (8 x))$

Étape 8.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 8 e^{x \ln (\cos (8 x))} x \sec (8 x) \sin (8 x) + e^{x \ln (\cos (8 x))} \ln (\cos (8 x))$