Calcul infinitésimal Exemples

${(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = 9 x^{- 3} - 5 x + 6$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $9 x^{- 3} - 5 x + 6$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $9 x^{- 3} - 5 x + 6$ .

$\frac{2}{3} {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Étape 2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Étape 3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{3} {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2}{3} {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Étape 5.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Étape 6

Associez les fractions.

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Étape 6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{3} {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Étape 6.2

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Étape 6.3

Placez ${(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Étape 7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{- 3} - 5 x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [9 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Étape 8

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (9 \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (9 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Étape 10

Multipliez $- 3$ par $9$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- 27 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Étape 11

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- 27 x^{- 4} - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

Étape 12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- 27 x^{- 4} - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])$

Étape 13

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- 27 x^{- 4} - 5 + \frac{d}{d x} [6])$

Étape 14

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- 27 x^{- 4} - 5 + 0)$

Étape 15

Additionnez $- 27 x^{- 4} - 5$ et $0$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- 27 x^{- 4} - 5)$

Étape 16

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(9 \frac{1}{x^{3}} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- 27 x^{- 4} - 5)$

Étape 17

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(9 \frac{1}{x^{3}} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- 27 \frac{1}{x^{4}} - 5)$

Étape 18

Simplifiez

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Étape 18.1

Associez des termes.

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Étape 18.1.1

Associez $9$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{2}{3 {(\frac{9}{x^{3}} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- 27 \frac{1}{x^{4}} - 5)$

Étape 18.1.2

Associez $- 27$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{2}{3 {(\frac{9}{x^{3}} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{- 27}{x^{4}} - 5)$

Étape 18.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{3 {(\frac{9}{x^{3}} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- \frac{27}{x^{4}} - 5)$

Étape 18.2

Réorganisez les facteurs de $\frac{2}{3 {(\frac{9}{x^{3}} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- \frac{27}{x^{4}} - 5)$ .

$(- \frac{27}{x^{4}} - 5) \frac{2}{3 {(\frac{9}{x^{3}} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}}$