Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{(x + 4) (x + 1)}{4 x - 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = (x + 4) (x + 1)$ et $g (x) = 4 x - 1$ .

$\frac{(4 x - 1) \frac{d}{d x} [(x + 4) (x + 1)] - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 4$ et $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(4 x - 1) ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(4 x - 1) ((x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(4 x - 1) ((x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(4 x - 1) ((x + 4) (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(4 x - 1) ((x + 4) \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Multipliez $x + 4$ par $1$ .

$\frac{(4 x - 1) (x + 4 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{(4 x - 1) (x + 4 + (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(4 x - 1) (x + 4 + (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [4])) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.7

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(4 x - 1) (x + 4 + (x + 1) (1 + 0)) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(4 x - 1) (x + 4 + (x + 1) \cdot 1) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.8.2

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$\frac{(4 x - 1) (x + 4 + x + 1) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.8.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 4 + 1) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.8.4

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 5) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 5) - (x + 4) (x + 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.10

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 5) - (x + 4) (x + 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 5) - (x + 4) (x + 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.12

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 5) - (x + 4) (x + 1) (4 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.13

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 5) - (x + 4) (x + 1) (4 + 0)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.14

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.14.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 5) - (x + 4) (x + 1) \cdot 4}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.14.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 5) - 4 (x + 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 5) + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Développez $(4 x - 1) (2 x + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x (2 x + 5) - 1 (2 x + 5) + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 - 1 (2 x + 5) + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5 + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{4 \cdot 2 x \cdot x + 4 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5 + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 \cdot 2 (x \cdot x) + 4 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5 + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2.1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{4 \cdot 2 x^{2} + 4 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5 + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2.1.2.1.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8 x^{2} + 4 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5 + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2.1.2.1.4

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 20 x - 1 (2 x) - 1 \cdot 5 + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2.1.2.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} + 20 x - 2 x - 1 \cdot 5 + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{8 x^{2} + 20 x - 2 x - 5 + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2.1.2.2

Soustrayez $2 x$ de $20 x$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 + (- 4 x - 16) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2.1.4

Développez $(- 4 x - 16) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 - 4 x (x + 1) - 16 (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 1 - 16 (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 1 - 16 x - 16 \cdot 1}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.5.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.5.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 - 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot 1 - 16 x - 16 \cdot 1}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2.1.5.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 - 4 x^{2} - 4 x \cdot 1 - 16 x - 16 \cdot 1}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2.1.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 - 4 x^{2} - 4 x - 16 x - 16 \cdot 1}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2.1.5.1.3

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 - 4 x^{2} - 4 x - 16 x - 16}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2.1.5.2

Soustrayez $16 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 - 4 x^{2} - 20 x - 16}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Soustrayez $4 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 18 x - 5 - 20 x - 16}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2.3

Soustrayez $20 x$ de $18 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 5 - 16}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2.4

Soustrayez $16$ de $- 5$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 21}{{(4 x - 1)}^{2}}$