Calcul infinitésimal Exemples

${(3 x^{4} + 8)}^{2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 3 x^{4} + 8$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x^{4} + 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 8]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 8]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x^{4} + 8$ .

$2 (3 x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 8]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$2 (3 x^{4} + 8) (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 (3 x^{4} + 8) (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$2 (3 x^{4} + 8) (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 2.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$2 (3 x^{4} + 8) (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 2.5

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (3 x^{4} + 8) (12 x^{3} + 0)$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $12 x^{3}$ et $0$ .

$2 (3 x^{4} + 8) (12 x^{3})$

Étape 2.6.2

Multipliez $12$ par $2$ .

$24 (3 x^{4} + 8) x^{3}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(24 (3 x^{4}) + 24 \cdot 8) x^{3}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$24 (3 x^{4}) x^{3} + 24 \cdot 8 x^{3}$

Étape 3.3

Associez des termes.

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Étape 3.3.1

Multipliez $3$ par $24$ .

$72 x^{4} x^{3} + 24 \cdot 8 x^{3}$

Étape 3.3.2

Multipliez $x^{4}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.2.1

Déplacez $x^{3}$ .

$72 (x^{3} x^{4}) + 24 \cdot 8 x^{3}$

Étape 3.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$72 x^{3 + 4} + 24 \cdot 8 x^{3}$

Étape 3.3.2.3

Additionnez $3$ et $4$ .

$72 x^{7} + 24 \cdot 8 x^{3}$

Étape 3.3.3

Multipliez $24$ par $8$ .

$72 x^{7} + 192 x^{3}$