Calcul infinitésimal Exemples

${(2 x - 5)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = 2 x - 5$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 5$ .

$\frac{2}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Étape 2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Étape 3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Étape 5.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Étape 6

Associez les fractions.

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Étape 6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{3} {(2 x - 5)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Étape 6.2

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(2 x - 5)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(2 x - 5)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Étape 6.3

Placez ${(2 x - 5)}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Étape 7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{2}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 10

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 11

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} (2 + 0)$

Étape 12

Associez les fractions.

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Étape 12.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{2}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 2$

Étape 12.2

Associez $\frac{2}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{3}}}$ et $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 12.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{3}}}$