Calcul infinitésimal Exemples

${(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 2 - 2 \cos (x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 - 2 \cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 - 2 \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Étape 2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Étape 3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Étape 5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Étape 6

Associez les fractions.

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Étape 6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(2 - 2 \cos (x))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(2 - 2 \cos (x))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 - 2 \cos (x))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Étape 6.3

Placez ${(2 - 2 \cos (x))}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Étape 7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - 2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)])$

Étape 8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)])$

Étape 9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Étape 10

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 11

Simplifiez les termes.

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Étape 11.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 11.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 ({(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{{(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{{(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 14

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \frac{1}{{(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (x))$

Étape 15

Associez les fractions.

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Étape 15.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{1}{{(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} \sin (x)$

Étape 15.2

Multipliez $\frac{1}{{(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{1}{{(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} \sin (x)$

Étape 15.3

Associez $\frac{1}{{(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{{(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}}$