Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x + 3}{{(x - 3)}^{5}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 3$ et $g (x) = {(x - 3)}^{5}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{({(x - 3)}^{5})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Multipliez les exposants dans ${({(x - 3)}^{5})}^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{5 \cdot 2}}$

Étape 2.1.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

Étape 2.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

Étape 2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

Étape 2.5.2

Multipliez ${(x - 3)}^{5}$ par $1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = x - 3$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 3$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} - (x + 3) (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{10}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} - (x + 3) (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{10}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 3$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} - (x + 3) (5 {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{10}}$

Étape 4

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} - 5 (x + 3) ({(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{10}}$

Étape 4.2

Factorisez ${(x - 3)}^{4}$ à partir de ${(x - 3)}^{5} - 5 (x + 3) ({(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez ${(x - 3)}^{4}$ à partir de ${(x - 3)}^{5}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{4} (x - 3) - 5 (x + 3) ({(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{10}}$

Étape 4.2.2

Factorisez ${(x - 3)}^{4}$ à partir de $- 5 (x + 3) ({(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])$ .

$\frac{{(x - 3)}^{4} (x - 3) + {(x - 3)}^{4} (- 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3]))}{{(x - 3)}^{10}}$

Étape 4.2.3

Factorisez ${(x - 3)}^{4}$ à partir de ${(x - 3)}^{4} (x - 3) + {(x - 3)}^{4} (- 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3]))$ .

$\frac{{(x - 3)}^{4} (x - 3 - 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3]))}{{(x - 3)}^{10}}$

Étape 5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1

Factorisez ${(x - 3)}^{4}$ à partir de ${(x - 3)}^{10}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{4} (x - 3 - 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3]))}{{(x - 3)}^{4} {(x - 3)}^{6}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x - 3)}^{4} (x - 3 - 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3]))}{{(x - 3)}^{4} {(x - 3)}^{6}}$

Étape 5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

Étape 6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

Étape 8

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{6}}$

Étape 9

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3) \cdot 1}{{(x - 3)}^{6}}$

Étape 9.2

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3)}{{(x - 3)}^{6}}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 3 - 5 x - 5 \cdot 3}{{(x - 3)}^{6}}$

Étape 10.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.1

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$\frac{x - 3 - 5 x - 15}{{(x - 3)}^{6}}$

Étape 10.2.2

Soustrayez $5 x$ de $x$ .

$\frac{- 4 x - 3 - 15}{{(x - 3)}^{6}}$

Étape 10.2.3

Soustrayez $15$ de $- 3$ .

$\frac{- 4 x - 18}{{(x - 3)}^{6}}$

Étape 10.3

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x - 18$ .

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Étape 10.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{2 (- 2 x) - 18}{{(x - 3)}^{6}}$

Étape 10.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 18$ .

$\frac{2 (- 2 x) + 2 (- 9)}{{(x - 3)}^{6}}$

Étape 10.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 2 x) + 2 (- 9)$ .

$\frac{2 (- 2 x - 9)}{{(x - 3)}^{6}}$

Étape 10.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- (2 x) - 9)}{{(x - 3)}^{6}}$

Étape 10.5

Réécrivez $- 9$ comme $- 1 (9)$ .

$\frac{2 (- (2 x) - 1 (9))}{{(x - 3)}^{6}}$

Étape 10.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (9)$ .

$\frac{2 (- (2 x + 9))}{{(x - 3)}^{6}}$

Étape 10.7

Réécrivez $- (2 x + 9)$ comme $- 1 (2 x + 9)$ .

$\frac{2 (- 1 (2 x + 9))}{{(x - 3)}^{6}}$

Étape 10.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 (2 x + 9)}{{(x - 3)}^{6}}$