Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{{(x + h)}^{5} - x^{5}}{h}$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Comme $\frac{1}{h}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{{(x + h)}^{5} - x^{5}}{h}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{h} \frac{d}{d x} [{(x + h)}^{5} - x^{5}]$ .

$\frac{1}{h} \frac{d}{d x} [{(x + h)}^{5} - x^{5}]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${(x + h)}^{5} - x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [{(x + h)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

$\frac{1}{h} (\frac{d}{d x} [{(x + h)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = x + h$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + h$ .

$\frac{1}{h} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{1}{h} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + h$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + h$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [h]$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [h]) + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [h]) + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Étape 3.3

Comme $h$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $h$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Étape 3.4.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Étape 3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} - \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} - (5 x^{4}))$

Étape 3.7

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} - 5 x^{4})$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4}) + \frac{1}{h} (- 5 x^{4})$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Associez $5$ et $\frac{1}{h}$ .

$\frac{5}{h} {(x + h)}^{4} + \frac{1}{h} (- 5 x^{4})$

Étape 4.2.2

Associez $\frac{5}{h}$ et ${(x + h)}^{4}$ .

$\frac{5 {(x + h)}^{4}}{h} + \frac{1}{h} (- 5 x^{4})$

Étape 4.2.3

Associez $- 5$ et $\frac{1}{h}$ .

$\frac{5 {(x + h)}^{4}}{h} + \frac{- 5}{h} x^{4}$

Étape 4.2.4

Associez $\frac{- 5}{h}$ et $x^{4}$ .

$\frac{5 {(x + h)}^{4}}{h} + \frac{- 5 x^{4}}{h}$

Étape 4.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{5 {(x + h)}^{4}}{h} - \frac{5 x^{4}}{h}$

Étape 4.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 {(x + h)}^{4} - 5 x^{4}}{h}$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 5 x^{4} + 5 {(x + h)}^{4}}{h}$