Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d^{9}}{d x^{9}} \cdot (x^{8} \ln (x))$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{8}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{8} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$x^{8} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.3.1

Associez $x^{8}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{8}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun à $x^{8}$ et $x$ .

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{8}$ .

$\frac{x \cdot x^{7}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 1.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot x^{7}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 1.3.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{7}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 1.3.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot x^{7}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 1.3.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{7}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 1.3.2.2.5

Divisez $x^{7}$ par $1$ .

$x^{7} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$x^{7} + \ln (x) (8 x^{7})$

Étape 1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = x^{7} + 8 x^{7} \ln (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{7} + 8 x^{7} \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [8 x^{7} \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [8 x^{7} \ln (x)]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$7 x^{6} + \frac{d}{d x} [8 x^{7} \ln (x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{7} \ln (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{7} \ln (x)$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{7} \ln (x)]$ .

$7 x^{6} + 8 \frac{d}{d x} [x^{7} \ln (x)]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{7}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$7 x^{6} + 8 (x^{7} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Étape 2.2.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$7 x^{6} + 8 (x^{7} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$7 x^{6} + 8 (x^{7} \frac{1}{x} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Étape 2.2.5

Associez $x^{7}$ et $\frac{1}{x}$ .

$7 x^{6} + 8 (\frac{x^{7}}{x} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Étape 2.2.6

Annulez le facteur commun à $x^{7}$ et $x$ .

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Étape 2.2.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{7}$ .

$7 x^{6} + 8 (\frac{x \cdot x^{6}}{x} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Étape 2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$7 x^{6} + 8 (\frac{x \cdot x^{6}}{x^{1}} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Étape 2.2.6.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$7 x^{6} + 8 (\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Étape 2.2.6.2.3

Annulez le facteur commun.

$7 x^{6} + 8 (\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Étape 2.2.6.2.4

Réécrivez l’expression.

$7 x^{6} + 8 (\frac{x^{6}}{1} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Étape 2.2.6.2.5

Divisez $x^{6}$ par $1$ .

$7 x^{6} + 8 (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$7 x^{6} + 8 x^{6} + 8 (\ln (x) (7 x^{6}))$

Étape 2.3.2

Associez des termes.

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $7$ par $8$ .

$7 x^{6} + 8 x^{6} + 56 (\ln (x) (x^{6}))$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $7 x^{6}$ et $8 x^{6}$ .

$15 x^{6} + 56 \ln (x) x^{6}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 15 x^{6} + 56 x^{6} \ln (x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $15 x^{6} + 56 x^{6} \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [15 x^{6}] + \frac{d}{d x} [56 x^{6} \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{6}] + \frac{d}{d x} [56 x^{6} \ln (x)]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [15 x^{6}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15 x^{6}$ par rapport à $x$ est $15 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [56 x^{6} \ln (x)]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$15 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [56 x^{6} \ln (x)]$

Étape 3.2.3

Multipliez $6$ par $15$ .

$90 x^{5} + \frac{d}{d x} [56 x^{6} \ln (x)]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [56 x^{6} \ln (x)]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $56$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $56 x^{6} \ln (x)$ par rapport à $x$ est $56 \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)]$ .

$90 x^{5} + 56 \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{6}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$90 x^{5} + 56 (x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Étape 3.3.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$90 x^{5} + 56 (x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$90 x^{5} + 56 (x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) (6 x^{5}))$

Étape 3.3.5

Associez $x^{6}$ et $\frac{1}{x}$ .

$90 x^{5} + 56 (\frac{x^{6}}{x} + \ln (x) (6 x^{5}))$

Étape 3.3.6

Annulez le facteur commun à $x^{6}$ et $x$ .

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Étape 3.3.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{6}$ .

$90 x^{5} + 56 (\frac{x \cdot x^{5}}{x} + \ln (x) (6 x^{5}))$

Étape 3.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$90 x^{5} + 56 (\frac{x \cdot x^{5}}{x^{1}} + \ln (x) (6 x^{5}))$

Étape 3.3.6.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$90 x^{5} + 56 (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5}))$

Étape 3.3.6.2.3

Annulez le facteur commun.

$90 x^{5} + 56 (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5}))$

Étape 3.3.6.2.4

Réécrivez l’expression.

$90 x^{5} + 56 (\frac{x^{5}}{1} + \ln (x) (6 x^{5}))$

Étape 3.3.6.2.5

Divisez $x^{5}$ par $1$ .

$90 x^{5} + 56 (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}))$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$90 x^{5} + 56 x^{5} + 56 (\ln (x) (6 x^{5}))$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $6$ par $56$ .

$90 x^{5} + 56 x^{5} + 336 (\ln (x) (x^{5}))$

Étape 3.4.2.2

Additionnez $90 x^{5}$ et $56 x^{5}$ .

$146 x^{5} + 336 \ln (x) x^{5}$

Étape 3.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f''' (x) = 146 x^{5} + 336 x^{5} \ln (x)$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $146 x^{5} + 336 x^{5} \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [146 x^{5}] + \frac{d}{d x} [336 x^{5} \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [146 x^{5}] + \frac{d}{d x} [336 x^{5} \ln (x)]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [146 x^{5}]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $146$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $146 x^{5}$ par rapport à $x$ est $146 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$146 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [336 x^{5} \ln (x)]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$146 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [336 x^{5} \ln (x)]$

Étape 4.2.3

Multipliez $5$ par $146$ .

$730 x^{4} + \frac{d}{d x} [336 x^{5} \ln (x)]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [336 x^{5} \ln (x)]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $336$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $336 x^{5} \ln (x)$ par rapport à $x$ est $336 \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$ .

$730 x^{4} + 336 \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$730 x^{4} + 336 (x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4.3.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$730 x^{4} + 336 (x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$730 x^{4} + 336 (x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) (5 x^{4}))$

Étape 4.3.5

Associez $x^{5}$ et $\frac{1}{x}$ .

$730 x^{4} + 336 (\frac{x^{5}}{x} + \ln (x) (5 x^{4}))$

Étape 4.3.6

Annulez le facteur commun à $x^{5}$ et $x$ .

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Étape 4.3.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$730 x^{4} + 336 (\frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) (5 x^{4}))$

Étape 4.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$730 x^{4} + 336 (\frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \ln (x) (5 x^{4}))$

Étape 4.3.6.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$730 x^{4} + 336 (\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) (5 x^{4}))$

Étape 4.3.6.2.3

Annulez le facteur commun.

$730 x^{4} + 336 (\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) (5 x^{4}))$

Étape 4.3.6.2.4

Réécrivez l’expression.

$730 x^{4} + 336 (\frac{x^{4}}{1} + \ln (x) (5 x^{4}))$

Étape 4.3.6.2.5

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$730 x^{4} + 336 (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}))$

Étape 4.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$730 x^{4} + 336 x^{4} + 336 (\ln (x) (5 x^{4}))$

Étape 4.4.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1

Multipliez $5$ par $336$ .

$730 x^{4} + 336 x^{4} + 1680 (\ln (x) (x^{4}))$

Étape 4.4.2.2

Additionnez $730 x^{4}$ et $336 x^{4}$ .

$1066 x^{4} + 1680 \ln (x) x^{4}$

Étape 4.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{4} (x) = 1066 x^{4} + 1680 x^{4} \ln (x)$

Étape 5

Déterminer la dérivée 5ème.

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Étape 5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1066 x^{4} + 1680 x^{4} \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1066 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1680 x^{4} \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1066 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1680 x^{4} \ln (x)]$

Étape 5.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [1066 x^{4}]$ .

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Étape 5.2.1

Comme $1066$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1066 x^{4}$ par rapport à $x$ est $1066 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$1066 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1680 x^{4} \ln (x)]$

Étape 5.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$1066 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [1680 x^{4} \ln (x)]$

Étape 5.2.3

Multipliez $4$ par $1066$ .

$4264 x^{3} + \frac{d}{d x} [1680 x^{4} \ln (x)]$

Étape 5.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [1680 x^{4} \ln (x)]$ .

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Étape 5.3.1

Comme $1680$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1680 x^{4} \ln (x)$ par rapport à $x$ est $1680 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$ .

$4264 x^{3} + 1680 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$

Étape 5.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$4264 x^{3} + 1680 (x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 5.3.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$4264 x^{3} + 1680 (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 5.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4264 x^{3} + 1680 (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Étape 5.3.5

Associez $x^{4}$ et $\frac{1}{x}$ .

$4264 x^{3} + 1680 (\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Étape 5.3.6

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$4264 x^{3} + 1680 (\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Étape 5.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4264 x^{3} + 1680 (\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Étape 5.3.6.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$4264 x^{3} + 1680 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Étape 5.3.6.2.3

Annulez le facteur commun.

$4264 x^{3} + 1680 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Étape 5.3.6.2.4

Réécrivez l’expression.

$4264 x^{3} + 1680 (\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Étape 5.3.6.2.5

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$4264 x^{3} + 1680 (x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Étape 5.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$4264 x^{3} + 1680 x^{3} + 1680 (\ln (x) (4 x^{3}))$

Étape 5.4.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Multipliez $4$ par $1680$ .

$4264 x^{3} + 1680 x^{3} + 6720 (\ln (x) (x^{3}))$

Étape 5.4.2.2

Additionnez $4264 x^{3}$ et $1680 x^{3}$ .

$5944 x^{3} + 6720 \ln (x) x^{3}$

Étape 5.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{5} (x) = 5944 x^{3} + 6720 x^{3} \ln (x)$

Étape 6

Déterminer la dérivée 6ème.

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Étape 6.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5944 x^{3} + 6720 x^{3} \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5944 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6720 x^{3} \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5944 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6720 x^{3} \ln (x)]$

Étape 6.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5944 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Comme $5944$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5944 x^{3}$ par rapport à $x$ est $5944 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5944 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6720 x^{3} \ln (x)]$

Étape 6.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5944 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6720 x^{3} \ln (x)]$

Étape 6.2.3

Multipliez $3$ par $5944$ .

$17832 x^{2} + \frac{d}{d x} [6720 x^{3} \ln (x)]$

Étape 6.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6720 x^{3} \ln (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Comme $6720$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6720 x^{3} \ln (x)$ par rapport à $x$ est $6720 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x)]$ .

$17832 x^{2} + 6720 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x)]$

Étape 6.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$17832 x^{2} + 6720 (x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 6.3.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$17832 x^{2} + 6720 (x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 6.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$17832 x^{2} + 6720 (x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Étape 6.3.5

Associez $x^{3}$ et $\frac{1}{x}$ .

$17832 x^{2} + 6720 (\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Étape 6.3.6

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$17832 x^{2} + 6720 (\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Étape 6.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$17832 x^{2} + 6720 (\frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Étape 6.3.6.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$17832 x^{2} + 6720 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Étape 6.3.6.2.3

Annulez le facteur commun.

$17832 x^{2} + 6720 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Étape 6.3.6.2.4

Réécrivez l’expression.

$17832 x^{2} + 6720 (\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Étape 6.3.6.2.5

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$17832 x^{2} + 6720 (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Étape 6.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$17832 x^{2} + 6720 x^{2} + 6720 (\ln (x) (3 x^{2}))$

Étape 6.4.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1

Multipliez $3$ par $6720$ .

$17832 x^{2} + 6720 x^{2} + 20160 (\ln (x) (x^{2}))$

Étape 6.4.2.2

Additionnez $17832 x^{2}$ et $6720 x^{2}$ .

$24552 x^{2} + 20160 \ln (x) x^{2}$

Étape 6.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{6} (x) = 24552 x^{2} + 20160 x^{2} \ln (x)$

Étape 7

Déterminer la dérivée 7ème.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $24552 x^{2} + 20160 x^{2} \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [24552 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20160 x^{2} \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [24552 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20160 x^{2} \ln (x)]$

Étape 7.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [24552 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Comme $24552$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24552 x^{2}$ par rapport à $x$ est $24552 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24552 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [20160 x^{2} \ln (x)]$

Étape 7.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$24552 (2 x) + \frac{d}{d x} [20160 x^{2} \ln (x)]$

Étape 7.2.3

Multipliez $2$ par $24552$ .

$49104 x + \frac{d}{d x} [20160 x^{2} \ln (x)]$

Étape 7.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [20160 x^{2} \ln (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Comme $20160$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $20160 x^{2} \ln (x)$ par rapport à $x$ est $20160 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$ .

$49104 x + 20160 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$

Étape 7.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$49104 x + 20160 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 7.3.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$49104 x + 20160 (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 7.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$49104 x + 20160 (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) (2 x))$

Étape 7.3.5

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{x}$ .

$49104 x + 20160 (\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) (2 x))$

Étape 7.3.6

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$49104 x + 20160 (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) (2 x))$

Étape 7.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$49104 x + 20160 (\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) (2 x))$

Étape 7.3.6.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$49104 x + 20160 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x))$

Étape 7.3.6.2.3

Annulez le facteur commun.

$49104 x + 20160 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x))$

Étape 7.3.6.2.4

Réécrivez l’expression.

$49104 x + 20160 (\frac{x}{1} + \ln (x) (2 x))$

Étape 7.3.6.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$49104 x + 20160 (x + \ln (x) (2 x))$

Étape 7.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$49104 x + 20160 x + 20160 (\ln (x) (2 x))$

Étape 7.4.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.2.1

Multipliez $2$ par $20160$ .

$49104 x + 20160 x + 40320 (\ln (x) (x))$

Étape 7.4.2.2

Additionnez $49104 x$ et $20160 x$ .

$69264 x + 40320 \ln (x) x$

Étape 7.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{7} (x) = 40320 x \ln (x) + 69264 x$

Étape 8

Déterminer la dérivée 8ème.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $40320 x \ln (x) + 69264 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [40320 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [69264 x]$ .

$\frac{d}{d x} [40320 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [69264 x]$

Étape 8.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [40320 x \ln (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Comme $40320$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $40320 x \ln (x)$ par rapport à $x$ est $40320 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$40320 \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [69264 x]$

Étape 8.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$40320 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [69264 x]$

Étape 8.2.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$40320 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [69264 x]$

Étape 8.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$40320 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [69264 x]$

Étape 8.2.5

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$40320 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [69264 x]$

Étape 8.2.6

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$40320 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [69264 x]$

Étape 8.2.6.2

Réécrivez l’expression.

$40320 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [69264 x]$

Étape 8.2.7

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$40320 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [69264 x]$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [69264 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Comme $69264$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $69264 x$ par rapport à $x$ est $69264 \frac{d}{d x} [x]$ .

$40320 (1 + \ln (x)) + 69264 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$40320 (1 + \ln (x)) + 69264 \cdot 1$

Étape 8.3.3

Multipliez $69264$ par $1$ .

$40320 (1 + \ln (x)) + 69264$

Étape 8.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$40320 \cdot 1 + 40320 \ln (x) + 69264$

Étape 8.4.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.1

Multipliez $40320$ par $1$ .

$40320 + 40320 \ln (x) + 69264$

Étape 8.4.2.2

Additionnez $40320$ et $69264$ .

$f^{8} (x) = 40320 \ln (x) + 109584$

Étape 9

Déterminer la dérivée 9ème.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $40320 \ln (x) + 109584$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [40320 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [109584]$ .

$\frac{d}{d x} [40320 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [109584]$

Étape 9.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [40320 \ln (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Comme $40320$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $40320 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $40320 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$40320 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [109584]$

Étape 9.2.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$40320 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [109584]$

Étape 9.2.3

Associez $40320$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{40320}{x} + \frac{d}{d x} [109584]$

Étape 9.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Comme $109584$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $109584$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{40320}{x} + 0$

Étape 9.3.2

Additionnez $\frac{40320}{x}$ et $0$ .

$f^{9} (x) = \frac{40320}{x}$