Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{e^{x}}{5 x^{2}}$

Étape 1

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{e^{x}}{5 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x^{2} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x^{2} e^{x} - e^{x} (2 x)}{x^{4}}$

Étape 5.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x}{x^{4}}$

Étape 5.2.2

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x}{x^{4}}$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x}{5 x^{4}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x}}{5 x^{4}}$

Étape 6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x}{5 x^{4}}$

Étape 6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.1

Factorisez $x$ à partir de $e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x$ .

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Étape 6.3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $e^{x} x^{2}$ .

$\frac{x (e^{x} x) - 2 e^{x} x}{5 x^{4}}$

Étape 6.3.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 e^{x} x$ .

$\frac{x (e^{x} x) + x (- 2 e^{x})}{5 x^{4}}$

Étape 6.3.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (e^{x} x) + x (- 2 e^{x})$ .

$\frac{x (e^{x} x - 2 e^{x})}{5 x^{4}}$

Étape 6.3.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x - 2 e^{x}$ .

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Étape 6.3.2.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x$ .

$\frac{x (e^{x} (x) - 2 e^{x})}{5 x^{4}}$

Étape 6.3.2.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- 2 e^{x}$ .

$\frac{x (e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2)}{5 x^{4}}$

Étape 6.3.2.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2$ .

$\frac{x (e^{x} (x - 2))}{5 x^{4}}$

$\frac{x e^{x} (x - 2)}{5 x^{4}}$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{4}$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x e^{x} (x - 2)$ .

$\frac{x (e^{x} (x - 2))}{5 x^{4}}$

Étape 6.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $5 x^{4}$ .

$\frac{x (e^{x} (x - 2))}{x (5 x^{3})}$

Étape 6.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (e^{x} (x - 2))}{x (5 x^{3})}$

Étape 6.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{x} (x - 2)}{5 x^{3}}$