Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{e^{x}}{7 x^{2} + 7}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 7 x^{2} + 7$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 7]}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 7]}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x^{2} + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 3.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{2}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [7])}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 3.4

Multipliez $2$ par $7$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (14 x + \frac{d}{d x} [7])}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 3.5

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (14 x + 0)}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Additionnez $14 x$ et $0$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (14 x)}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 3.6.2

Multipliez $14$ par $- 1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - 14 e^{x} x}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 x^{2} e^{x} + 7 e^{x} - 14 e^{x} x}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $7 x^{2} e^{x} + 7 e^{x} - 14 e^{x} x$ .

$\frac{7 x^{2} e^{x} + 7 e^{x} - 14 x e^{x}}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{7 e^{x} x^{2} - 14 e^{x} x + 7 e^{x}}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 4.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Factorisez $7 e^{x}$ à partir de $7 e^{x} x^{2} - 14 e^{x} x + 7 e^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.1

Factorisez $7 e^{x}$ à partir de $7 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{7 e^{x} (x^{2}) - 14 e^{x} x + 7 e^{x}}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 4.4.1.2

Factorisez $7 e^{x}$ à partir de $- 14 e^{x} x$ .

$\frac{7 e^{x} (x^{2}) + 7 e^{x} (- 2 x) + 7 e^{x}}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 4.4.1.3

Factorisez $7 e^{x}$ à partir de $7 e^{x}$ .

$\frac{7 e^{x} (x^{2}) + 7 e^{x} (- 2 x) + 7 e^{x} (1)}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 4.4.1.4

Factorisez $7 e^{x}$ à partir de $7 e^{x} (x^{2}) + 7 e^{x} (- 2 x)$ .

$\frac{7 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 7 e^{x} (1)}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 4.4.1.5

Factorisez $7 e^{x}$ à partir de $7 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 7 e^{x} (1)$ .

$\frac{7 e^{x} (x^{2} - 2 x + 1)}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 4.4.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{7 e^{x} (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 4.4.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 4.4.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{7 e^{x} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 4.4.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 4.5

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x^{2} + 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x^{2}$ .

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(7 (x^{2}) + 7)}^{2}}$

Étape 4.5.1.2

Factorisez $7$ à partir de $7$ .

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(7 (x^{2}) + 7 (1))}^{2}}$

Étape 4.5.1.3

Factorisez $7$ à partir de $7 (x^{2}) + 7 (1)$ .

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(7 (x^{2} + 1))}^{2}}$

Étape 4.5.2

Appliquez la règle de produit à $7 (x^{2} + 1)$ .

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{7^{2} {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.5.3

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{49 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.6

Annulez le facteur commun à $7$ et $49$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1

Factorisez $7$ à partir de $7 e^{x} {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{7 (e^{x} {(x - 1)}^{2})}{49 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.2.1

Factorisez $7$ à partir de $49 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{7 (e^{x} {(x - 1)}^{2})}{7 (7 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

Étape 4.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 (e^{x} {(x - 1)}^{2})}{7 (7 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

Étape 4.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{x} {(x - 1)}^{2}}{7 {(x^{2} + 1)}^{2}}$