Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{e^{3 x}}{x^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{3 x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{3 x}] - e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{3 x}] - e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{3 x}] - e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$\frac{x^{2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{x^{2} (e^{3 x} \cdot 3) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 x}$ .

$\frac{x^{2} (3 \cdot e^{3 x}) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (3 e^{3 x}) - e^{3 x} (2 x)}{x^{4}}$

Étape 4.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} (3 e^{3 x}) - 2 e^{3 x} x}{x^{4}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 x^{2} e^{3 x} - 2 e^{3 x} x}{x^{4}}$

Étape 5.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 x^{2} e^{3 x} - 2 e^{3 x} x$ .

$\frac{3 x^{2} e^{3 x} - 2 x e^{3 x}}{x^{4}}$

Étape 5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 e^{3 x} x^{2} - 2 e^{3 x} x}{x^{4}}$

Étape 5.3

Factorisez $e^{3 x} x$ à partir de $3 e^{3 x} x^{2} - 2 e^{3 x} x$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $e^{3 x} x$ à partir de $3 e^{3 x} x^{2}$ .

$\frac{e^{3 x} x (3 x) - 2 e^{3 x} x}{x^{4}}$

Étape 5.3.2

Factorisez $e^{3 x} x$ à partir de $- 2 e^{3 x} x$ .

$\frac{e^{3 x} x (3 x) + e^{3 x} x (- 2)}{x^{4}}$

Étape 5.3.3

Factorisez $e^{3 x} x$ à partir de $e^{3 x} x (3 x) + e^{3 x} x (- 2)$ .

$\frac{e^{3 x} x (3 x - 2)}{x^{4}}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{4}$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $x$ à partir de $e^{3 x} x (3 x - 2)$ .

$\frac{x (e^{3 x} (3 x - 2))}{x^{4}}$

Étape 5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x (e^{3 x} (3 x - 2))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (e^{3 x} (3 x - 2))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{3 x} (3 x - 2)}{x^{3}}$