Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2} + 2 x - 35}{x^{2} - 25}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} + 2 x - 35$ et $g (x) = x^{2} - 25$ .

$\frac{(x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 35] - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 x - 35$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 35]$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 35]) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 35]) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 35]) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 35]) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 2.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 35]) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 2.6

Comme $- 35$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 35$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2 + 0) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 2.7

Additionnez $2 x + 2$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 35) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25])}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 35) (2 x + \frac{d}{d x} [- 25])}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 2.10

Comme $- 25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 35) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.11.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 35) (2 x)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 2.11.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 35) x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) + (- 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 35) x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Développez $(x^{2} - 25) (2 x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} (2 x + 2) - 25 (2 x + 2) - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x + 2) - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.2.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.3.1.2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2.4

Multipliez $2$ par $- 25$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2.5

Multipliez $- 25$ par $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.3.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.3.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.3.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.3.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{1 + 2} - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.3.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{3} - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{3} - 2 (2 (x \cdot x)) - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.3.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{3} - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.3.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 35$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{3} - 4 x^{2} + 70 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{3} - 4 x^{2} + 70 x$ .

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Étape 3.3.2.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} - 50 x - 50 + 0 - 4 x^{2} + 70 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $2 x^{2} - 50 x - 50$ et $0$ .

$\frac{2 x^{2} - 50 x - 50 - 4 x^{2} + 70 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Soustrayez $4 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 50 x - 50 + 70 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.3.4

Additionnez $- 50 x$ et $70 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 20 x - 50}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2} + 20 x - 50$ .

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Étape 3.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 20 x - 50}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $20 x$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (10 x) - 50}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 50$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (10 x) + 2 (- 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.4.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{2}) + 2 (10 x)$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 10 x) + 2 (- 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.4.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{2} + 10 x) + 2 (- 25)$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 10 x - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.4.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 25 = 25$ et dont la somme est $b = 10$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Factorisez $10$ à partir de $10 x$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 10 (x) - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.4.2.1.2

Réécrivez $10$ comme $5$ plus $5$

$\frac{2 (- x^{2} + (5 + 5) x - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.4.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- x^{2} + 5 x + 5 x - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.4.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{2 ((- x^{2} + 5 x) + 5 x - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.4.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2 (x (- x + 5) - 5 (- x + 5))}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.4.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 5$ .

$\frac{2 ((- x + 5) (x - 5))}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

$\frac{2 (- x + 5) (x - 5)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.4.3

Associez les exposants.

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 5) (x - 5)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.4.3.2

Réécrivez $5$ comme $- 1 (- 5)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 5)) (x - 5)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 5)$ .

$\frac{2 (- (x - 5)) (x - 5)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.4.3.4

Réécrivez $- (x - 5)$ comme $- 1 (x - 5)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 5)) (x - 5)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.4.3.5

Élevez $x - 5$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 ({(x - 5)}^{1} (x - 5))}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.4.3.6

Élevez $x - 5$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 ({(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.4.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \cdot - 1 {(x - 5)}^{1 + 1}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.4.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 {(x - 5)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.4.3.9

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 {(x - 5)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 3.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{- 2 {(x - 5)}^{2}}{{(x^{2} - 5^{2})}^{2}}$

Étape 3.5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$\frac{- 2 {(x - 5)}^{2}}{{((x + 5) (x - 5))}^{2}}$

Étape 3.5.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 5) (x - 5)$ .

$\frac{- 2 {(x - 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun de ${(x - 5)}^{2}$ .

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Étape 3.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 {(x - 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 3.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{{(x + 5)}^{2}}$