Calcul infinitésimal Exemples

$- \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}] + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} + 36$ et $g (x) = {(x^{2} - 36)}^{2}$ .

$- \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 36] - (x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 36)}^{2}]}{{({(x^{2} - 36)}^{2})}^{2}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 36)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 36] - (x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 36)}^{2}]}{{(x^{2} - 36)}^{2 \cdot 2}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 36] - (x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 36)}^{2}]}{{(x^{2} - 36)}^{4}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 36$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$- \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]) - (x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 36)}^{2}]}{{(x^{2} - 36)}^{4}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [36]) - (x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 36)}^{2}]}{{(x^{2} - 36)}^{4}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.4

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} (2 x + 0) - (x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 36)}^{2}]}{{(x^{2} - 36)}^{4}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} (2 x) - (x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 36)}^{2}]}{{(x^{2} - 36)}^{4}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.5.2

Déplacez $2$ à gauche de ${(x^{2} - 36)}^{2}$ .

$- \frac{2 \cdot {(x^{2} - 36)}^{2} x - (x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 36)}^{2}]}{{(x^{2} - 36)}^{4}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} - 36$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 36$ .

$- \frac{2 {(x^{2} - 36)}^{2} x - (x^{2} + 36) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 36])}{{(x^{2} - 36)}^{4}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{2 {(x^{2} - 36)}^{2} x - (x^{2} + 36) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 36])}{{(x^{2} - 36)}^{4}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 36$ .

$- \frac{2 {(x^{2} - 36)}^{2} x - (x^{2} + 36) (2 (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36])}{{(x^{2} - 36)}^{4}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{2 {(x^{2} - 36)}^{2} x - 2 (x^{2} + 36) ((x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36])}{{(x^{2} - 36)}^{4}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 36$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$- \frac{2 {(x^{2} - 36)}^{2} x - 2 (x^{2} + 36) ((x^{2} - 36) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]))}{{(x^{2} - 36)}^{4}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{2 {(x^{2} - 36)}^{2} x - 2 (x^{2} + 36) ((x^{2} - 36) (2 x + \frac{d}{d x} [- 36]))}{{(x^{2} - 36)}^{4}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5.4

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{2 {(x^{2} - 36)}^{2} x - 2 (x^{2} + 36) ((x^{2} - 36) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 36)}^{4}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- \frac{2 {(x^{2} - 36)}^{2} x - 2 (x^{2} + 36) ((x^{2} - 36) (2 x))}{{(x^{2} - 36)}^{4}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} - 36$ .

$- \frac{2 {(x^{2} - 36)}^{2} x - 2 (x^{2} + 36) (2 \cdot (x^{2} - 36) x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5.5.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- \frac{2 {(x^{2} - 36)}^{2} x - 4 (x^{2} + 36) ((x^{2} - 36) x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{2 {(x^{2} - 36)}^{2} x - 4 (x^{2} + 36) ((x^{2} - 36) x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \cdot 0$

Étape 5.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.7.1

Multipliez $\frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ par $0$ .

$- \frac{2 {(x^{2} - 36)}^{2} x - 4 (x^{2} + 36) ((x^{2} - 36) x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}} + 0$

Étape 5.7.2

Additionnez $- \frac{2 {(x^{2} - 36)}^{2} x - 4 (x^{2} + 36) ((x^{2} - 36) x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$ et $0$ .

$- \frac{2 {(x^{2} - 36)}^{2} x - 4 (x^{2} + 36) ((x^{2} - 36) x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 {(x^{2} - 36)}^{2} x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) ((x^{2} - 36) x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 {(x^{2} - 36)}^{2} x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Réécrivez ${(x^{2} - 36)}^{2}$ comme $(x^{2} - 36) (x^{2} - 36)$ .

$- \frac{2 ((x^{2} - 36) (x^{2} - 36)) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.2

Développez $(x^{2} - 36) (x^{2} - 36)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 (x^{2} (x^{2} - 36) - 36 (x^{2} - 36)) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 36 - 36 (x^{2} - 36)) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 36 - 36 x^{2} - 36 \cdot - 36) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 36 - 36 x^{2} - 36 \cdot - 36) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$- \frac{2 (x^{4} + x^{2} \cdot - 36 - 36 x^{2} - 36 \cdot - 36) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.3.1.2

Déplacez $- 36$ à gauche de $x^{2}$ .

$- \frac{2 (x^{4} - 36 \cdot x^{2} - 36 x^{2} - 36 \cdot - 36) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.3.1.3

Multipliez $- 36$ par $- 36$ .

$- \frac{2 (x^{4} - 36 x^{2} - 36 x^{2} + 1296) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.3.2

Soustrayez $36 x^{2}$ de $- 36 x^{2}$ .

$- \frac{2 (x^{4} - 72 x^{2} + 1296) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{(2 x^{4} + 2 (- 72 x^{2}) + 2 \cdot 1296) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.5

Simplifiez

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Étape 6.3.1.5.1

Multipliez $- 72$ par $2$ .

$- \frac{(2 x^{4} - 144 x^{2} + 2 \cdot 1296) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.5.2

Multipliez $2$ par $1296$ .

$- \frac{(2 x^{4} - 144 x^{2} + 2592) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 x^{4} x - 144 x^{2} x + 2592 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.7

Simplifiez

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Étape 6.3.1.7.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.7.1.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{2 (x \cdot x^{4}) - 144 x^{2} x + 2592 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.7.1.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 6.3.1.7.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 (x^{1} x^{4}) - 144 x^{2} x + 2592 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.7.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 x^{1 + 4} - 144 x^{2} x + 2592 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.7.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{2} x + 2592 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.7.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.7.2.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{2 x^{5} - 144 (x \cdot x^{2}) + 2592 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.7.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 6.3.1.7.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 x^{5} - 144 (x^{1} x^{2}) + 2592 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.7.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{1 + 2} + 2592 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.7.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.8

Multipliez $- 4$ par $36$ .

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x + (- 4 x^{2} - 144) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.9

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.9.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 6.3.1.9.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x + (- 4 x^{2} - 144) (x^{2} x^{1} - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.9.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x + (- 4 x^{2} - 144) (x^{2 + 1} - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.9.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x + (- 4 x^{2} - 144) (x^{3} - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.10

Développez $(- 4 x^{2} - 144) (x^{3} - 36 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x - 4 x^{2} (x^{3} - 36 x) - 144 (x^{3} - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x - 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} (- 36 x) - 144 (x^{3} - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x - 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} (- 36 x) - 144 x^{3} - 144 (- 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.11

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.1.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.11.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.11.1.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x - 4 (x^{3} x^{2}) - 4 x^{2} (- 36 x) - 144 x^{3} - 144 (- 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.11.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x - 4 x^{3 + 2} - 4 x^{2} (- 36 x) - 144 x^{3} - 144 (- 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.11.1.1.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x - 4 x^{5} - 4 x^{2} (- 36 x) - 144 x^{3} - 144 (- 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.11.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x - 4 x^{5} - 4 \cdot - 36 x^{2} x - 144 x^{3} - 144 (- 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.11.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.11.1.3.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x - 4 x^{5} - 4 \cdot - 36 (x \cdot x^{2}) - 144 x^{3} - 144 (- 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.11.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 6.3.1.11.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x - 4 x^{5} - 4 \cdot - 36 (x^{1} x^{2}) - 144 x^{3} - 144 (- 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.11.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x - 4 x^{5} - 4 \cdot - 36 x^{1 + 2} - 144 x^{3} - 144 (- 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.11.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x - 4 x^{5} - 4 \cdot - 36 x^{3} - 144 x^{3} - 144 (- 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.11.1.4

Multipliez $- 4$ par $- 36$ .

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x - 4 x^{5} + 144 x^{3} - 144 x^{3} - 144 (- 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.11.1.5

Multipliez $- 36$ par $- 144$ .

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x - 4 x^{5} + 144 x^{3} - 144 x^{3} + 5184 x}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.11.2

Soustrayez $144 x^{3}$ de $144 x^{3}$ .

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x - 4 x^{5} + 0 + 5184 x}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.1.11.3

Additionnez $- 4 x^{5}$ et $0$ .

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x - 4 x^{5} + 5184 x}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.2

Soustrayez $4 x^{5}$ de $2 x^{5}$ .

$- \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x + 5184 x}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.3.3

Additionnez $2592 x$ et $5184 x$ .

$- \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} + 7776 x}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.1

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{5} - 144 x^{3} + 7776 x$ .

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Étape 6.4.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{5}$ .

$- \frac{2 x (- x^{4}) - 144 x^{3} + 7776 x}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.4.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 144 x^{3}$ .

$- \frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (- 72 x^{2}) + 7776 x}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.4.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $7776 x$ .

$- \frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (- 72 x^{2}) + 2 x (3888)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.4.1.4

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (- x^{4}) + 2 x (- 72 x^{2})$ .

$- \frac{2 x (- x^{4} - 72 x^{2}) + 2 x (3888)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.4.1.5

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (- x^{4} - 72 x^{2}) + 2 x (3888)$ .

$- \frac{2 x (- x^{4} - 72 x^{2} + 3888)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.4.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- \frac{2 x (- {(x^{2})}^{2} - 72 x^{2} + 3888)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.4.3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- \frac{2 x (- u^{2} - 72 u + 3888)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.4.4

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.4.4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 3888 = - 3888$ et dont la somme est $b = - 72$ .

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Étape 6.4.4.1.1

Factorisez $- 72$ à partir de $- 72 u$ .

$- \frac{2 x (- u^{2} - 72 (u) + 3888)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.4.4.1.2

Réécrivez $- 72$ comme $36$ plus $- 108$

$- \frac{2 x (- u^{2} + (36 - 108) u + 3888)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.4.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 x (- u^{2} + 36 u - 108 u + 3888)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.4.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.4.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- \frac{2 x ((- u^{2} + 36 u) - 108 u + 3888)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.4.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- \frac{2 x (u (- u + 36) + 108 (- u + 36))}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.4.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- u + 36$ .

$- \frac{2 x ((- u + 36) (u + 108))}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.4.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- \frac{2 x ((- x^{2} + 36) (x^{2} + 108))}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.4.6

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$- \frac{2 x ((- x^{2} + 6^{2}) (x^{2} + 108))}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.4.7

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $6^{2}$ .

$- \frac{2 x ((6^{2} - x^{2}) (x^{2} + 108))}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.4.8

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 6$ et $b = x$ .

$- \frac{2 x (6 + x) (6 - x) (x^{2} + 108)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 6.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.5.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$- \frac{2 x (6 + x) (6 - x) (x^{2} + 108)}{{(x^{2} - 6^{2})}^{4}}$

Étape 6.5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 6$ .

$- \frac{2 x (6 + x) (6 - x) (x^{2} + 108)}{{((x + 6) (x - 6))}^{4}}$

Étape 6.5.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 6) (x - 6)$ .

$- \frac{2 x (6 + x) (6 - x) (x^{2} + 108)}{{(x + 6)}^{4} {(x - 6)}^{4}}$

Étape 6.6

Annulez le facteur commun à $6 + x$ et ${(x + 6)}^{4}$ .

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Étape 6.6.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{2 x (x + 6) (6 - x) (x^{2} + 108)}{{(x + 6)}^{4} {(x - 6)}^{4}}$

Étape 6.6.2

Factorisez $x + 6$ à partir de $2 x (x + 6) (6 - x) (x^{2} + 108)$ .

$- \frac{(x + 6) ((2 x (6 - x)) (x^{2} + 108))}{{(x + 6)}^{4} {(x - 6)}^{4}}$

Étape 6.6.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.6.3.1

Factorisez $x + 6$ à partir de ${(x + 6)}^{4} {(x - 6)}^{4}$ .

$- \frac{(x + 6) ((2 x (6 - x)) (x^{2} + 108))}{(x + 6) ({(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{4})}$

Étape 6.6.3.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{(x + 6) ((2 x (6 - x)) (x^{2} + 108))}{(x + 6) ({(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{4})}$

Étape 6.6.3.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{(2 x (6 - x)) (x^{2} + 108)}{{(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{4}}$

Étape 6.7

Annulez le facteur commun à $6 - x$ et ${(x - 6)}^{4}$ .

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Étape 6.7.1

Réécrivez $6$ comme $- 1 (- 6)$ .

$- \frac{2 x (- 1 (- 6) - x) (x^{2} + 108)}{{(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{4}}$

Étape 6.7.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$- \frac{2 x (- 1 (- 6) - (x)) (x^{2} + 108)}{{(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{4}}$

Étape 6.7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 6) - (x)$ .

$- \frac{2 x (- 1 (- 6 + x)) (x^{2} + 108)}{{(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{4}}$

Étape 6.7.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{2 x (- 1 (x - 6)) (x^{2} + 108)}{{(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{4}}$

Étape 6.7.5

Factorisez $x - 6$ à partir de $2 x (- 1 (x - 6)) (x^{2} + 108)$ .

$- \frac{(x - 6) (2 x \cdot (- 1) (x^{2} + 108))}{{(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{4}}$

Étape 6.7.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.7.6.1

Factorisez $x - 6$ à partir de ${(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{4}$ .

$- \frac{(x - 6) (2 x \cdot (- 1) (x^{2} + 108))}{(x - 6) ({(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{3})}$

Étape 6.7.6.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{(x - 6) (2 x \cdot (- 1) (x^{2} + 108))}{(x - 6) ({(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{3})}$

Étape 6.7.6.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2 x \cdot (- 1) (x^{2} + 108)}{{(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{3}}$

Étape 6.8

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{- 2 x (x^{2} + 108)}{{(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{3}}$

Étape 6.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{2 x (x^{2} + 108)}{{(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{3}}$

Étape 6.10

Multipliez $- - \frac{2 x (x^{2} + 108)}{{(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{3}}$ .

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Étape 6.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{2 x (x^{2} + 108)}{{(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{3}}$

Étape 6.10.2

Multipliez $\frac{2 x (x^{2} + 108)}{{(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{3}}$ par $1$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 108)}{{(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{3}}$