Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2} + 10 x + 25}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} + 10 x + 25$ et $g (x) = {(x + 5)}^{2}$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x + 25] - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{({(x + 5)}^{2})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 5)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x + 25] - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x + 25] - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 10 x + 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

Étape 2.4

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

Étape 2.6

Multipliez $10$ par $1$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10 + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

Étape 2.7

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10 + 0) - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

Étape 2.8

Additionnez $2 x + 10$ et $0$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10) - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x + 5$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 5$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10) - (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 5])}{{(x + 5)}^{4}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10) - (x^{2} + 10 x + 25) (2 u \frac{d}{d x} [x + 5])}{{(x + 5)}^{4}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 5$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10) - (x^{2} + 10 x + 25) (2 (x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5])}{{(x + 5)}^{4}}$

Étape 4

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) ((x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5])}{{(x + 5)}^{4}}$

Étape 4.2

Factorisez $x + 5$ à partir de ${(x + 5)}^{2} (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) ((x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5])$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x + 5$ à partir de ${(x + 5)}^{2} (2 x + 10)$ .

$\frac{(x + 5) ((x + 5) (2 x + 10)) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) ((x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5])}{{(x + 5)}^{4}}$

Étape 4.2.2

Factorisez $x + 5$ à partir de $- 2 (x^{2} + 10 x + 25) ((x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5])$ .

$\frac{(x + 5) ((x + 5) (2 x + 10)) + (x + 5) (- 2 (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x + 5]))}{{(x + 5)}^{4}}$

Étape 4.2.3

Factorisez $x + 5$ à partir de $(x + 5) ((x + 5) (2 x + 10)) + (x + 5) (- 2 (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x + 5]))$ .

$\frac{(x + 5) ((x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x + 5]))}{{(x + 5)}^{4}}$

Étape 5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1

Factorisez $x + 5$ à partir de ${(x + 5)}^{4}$ .

$\frac{(x + 5) ((x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x + 5]))}{(x + 5) {(x + 5)}^{3}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 5) ((x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x + 5]))}{(x + 5) {(x + 5)}^{3}}$

Étape 5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x + 5])}{{(x + 5)}^{3}}$

Étape 6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{3}}$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) (1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{3}}$

Étape 8

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) (1 + 0)}{{(x + 5)}^{3}}$

Étape 9

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) \cdot 1}{{(x + 5)}^{3}}$

Étape 9.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{(x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25)}{{(x + 5)}^{3}}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x + 5) (2 x + 10) - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

Étape 10.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

Développez $(x + 5) (2 x + 10)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 10.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x + 10) + 5 (2 x + 10) - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

Étape 10.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 10 + 5 (2 x + 10) - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

Étape 10.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 10 + 5 (2 x) + 5 \cdot 10 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

Étape 10.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 10.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 10 + 5 (2 x) + 5 \cdot 10 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

Étape 10.2.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.2.1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 10 + 5 (2 x) + 5 \cdot 10 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

Étape 10.2.1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 10 + 5 (2 x) + 5 \cdot 10 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

Étape 10.2.1.2.1.3

Déplacez $10$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 10 \cdot x + 5 (2 x) + 5 \cdot 10 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

Étape 10.2.1.2.1.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{2 x^{2} + 10 x + 10 x + 5 \cdot 10 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

Étape 10.2.1.2.1.5

Multipliez $5$ par $10$ .

$\frac{2 x^{2} + 10 x + 10 x + 50 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

Étape 10.2.1.2.2

Additionnez $10 x$ et $10 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 20 x + 50 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

Étape 10.2.1.3

Multipliez $10$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} + 20 x + 50 - 2 x^{2} - 20 x - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

Étape 10.2.1.4

Multipliez $- 2$ par $25$ .

$\frac{2 x^{2} + 20 x + 50 - 2 x^{2} - 20 x - 50}{{(x + 5)}^{3}}$

Étape 10.2.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{2} + 20 x + 50 - 2 x^{2} - 20 x - 50$ .

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Étape 10.2.2.1

Soustrayez $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{20 x + 50 + 0 - 20 x - 50}{{(x + 5)}^{3}}$

Étape 10.2.2.2

Additionnez $20 x + 50$ et $0$ .

$\frac{20 x + 50 - 20 x - 50}{{(x + 5)}^{3}}$

Étape 10.2.2.3

Soustrayez $20 x$ de $20 x$ .

$\frac{0 + 50 - 50}{{(x + 5)}^{3}}$

Étape 10.2.2.4

Additionnez $0$ et $50$ .

$\frac{50 - 50}{{(x + 5)}^{3}}$

Étape 10.2.2.5

Soustrayez $50$ de $50$ .

$\frac{0}{{(x + 5)}^{3}}$

Étape 10.3

Divisez $0$ par ${(x + 5)}^{3}$ .

$0$