Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2 - 1}}$

Étape 1

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{1}}]$

Étape 2

Simplifiez

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} + 1$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1)}{x^{2}}$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 11.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1}{x^{2}}$

Étape 11.2.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$

Étape 11.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$