Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2}}{8 - 3 x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 8 - 3 x$ .

$\frac{(8 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [8 - 3 x]}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(8 - 3 x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [8 - 3 x]}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Étape 2.2

Déplacez $2$ à gauche de $8 - 3 x$ .

$\frac{2 \cdot (8 - 3 x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [8 - 3 x]}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{2 (8 - 3 x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 3 x])}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Étape 2.4

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (8 - 3 x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Étape 2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{2 (8 - 3 x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- 3 x]}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Étape 2.6

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (8 - 3 x) x - x^{2} (- 3 \frac{d}{d x} [x])}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Étape 2.7

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{2 (8 - 3 x) x + 3 x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (8 - 3 x) x + 3 x^{2} \cdot 1}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Étape 2.9

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{2 (8 - 3 x) x + 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 \cdot 8 + 2 (- 3 x)) x + 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 8 x + 2 (- 3 x) x + 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{16 x + 2 (- 3 x) x + 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{16 x + 2 (- 3 (x \cdot x)) + 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{16 x + 2 (- 3 x^{2}) + 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.3

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{16 x - 6 x^{2} + 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Additionnez $- 6 x^{2}$ et $3 x^{2}$ .

$\frac{16 x - 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 3 x^{2} + 16 x}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

Étape 3.5

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x^{2} + 16 x$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{x (- 3 x) + 16 x}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

Étape 3.5.2

Factorisez $x$ à partir de $16 x$ .

$\frac{x (- 3 x) + x \cdot 16}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

Étape 3.5.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- 3 x) + x \cdot 16$ .

$\frac{x (- 3 x + 16)}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

Étape 3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{x (- (3 x) + 16)}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

Étape 3.7

Réécrivez $16$ comme $- 1 (- 16)$ .

$\frac{x (- (3 x) - 1 (- 16))}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

Étape 3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x) - 1 (- 16)$ .

$\frac{x (- (3 x - 16))}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

Étape 3.9

Réécrivez $- (3 x - 16)$ comme $- 1 (3 x - 16)$ .

$\frac{x (- 1 (3 x - 16))}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

Étape 3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x (3 x - 16)}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$