Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{4}{x} - \frac{9}{\sqrt[3]{x}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{4}{x} - \frac{9}{\sqrt[3]{x}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{\sqrt[3]{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{\sqrt[3]{x}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

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Étape 2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4}{x}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{\sqrt[3]{x}}]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{\sqrt[3]{x}}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$4 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{\sqrt[3]{x}}]$

Étape 2.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{\sqrt[3]{x}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{9}{\sqrt[3]{x}}]$ .

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$- 4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 3.2

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{9}{x^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$- 4 x^{- 2} - 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$- 4 x^{- 2} - 9 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$- 4 x^{- 2} - 9 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 4 x^{- 2} - 9 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{3}}$ .

$- 4 x^{- 2} - 9 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$- 4 x^{- 2} - 9 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Étape 3.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Étape 3.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 x^{- 2} - 9 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Étape 3.6.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 2$ .

$- 4 x^{- 2} - 9 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Étape 3.6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 4 x^{- 2} - 9 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Étape 3.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- 4 x^{- 2} - 9 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Étape 3.8

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$- 4 x^{- 2} - 9 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Étape 3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 4 x^{- 2} - 9 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Étape 3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.10.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 4 x^{- 2} - 9 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Étape 3.10.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$- 4 x^{- 2} - 9 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Étape 3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 4 x^{- 2} - 9 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Étape 3.12

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$- 4 x^{- 2} - 9 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Étape 3.13

Associez $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$- 4 x^{- 2} - 9 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Étape 3.14

Multipliez $x^{- \frac{2}{3}}$ par $x^{- \frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.14.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 4 x^{- 2} - 9 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Étape 3.14.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 4 x^{- 2} - 9 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Étape 3.14.3

Soustrayez $2$ de $- 2$ .

$- 4 x^{- 2} - 9 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Étape 3.14.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 4 x^{- 2} - 9 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Étape 3.15

Placez $x^{- \frac{4}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 x^{- 2} - 9 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Étape 3.16

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$- 4 x^{- 2} + 9 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.17

Associez $9$ et $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$- 4 x^{- 2} + \frac{9}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.18

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$- 4 x^{- 2} + \frac{3 \cdot 3}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.19

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.19.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{\frac{4}{3}}$ .

$- 4 x^{- 2} + \frac{3 \cdot 3}{3 (x^{\frac{4}{3}})}$

Étape 3.19.2

Annulez le facteur commun.

$- 4 x^{- 2} + \frac{3 \cdot 3}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.19.3

Réécrivez l’expression.

$- 4 x^{- 2} + \frac{3}{x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Associez $- 4$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 4}{x^{2}} + \frac{3}{x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x^{\frac{4}{3}}}$