Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2} + 5 x - 1}{x^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} + 5 x - 1$ et $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x - 1] - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x - 1] - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x - 1] - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 5 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.6

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 5 + 0) - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.8

Additionnez $2 x + 5$ et $0$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

Étape 2.10

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.10.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 5) - 2 (x^{2} + 5 x - 1) x}{x^{4}}$

Étape 2.10.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (2 x + 5) - 2 (x^{2} + 5 x - 1) x$ .

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Étape 2.10.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (2 x + 5)$ .

$\frac{x (x (2 x + 5)) - 2 (x^{2} + 5 x - 1) x}{x^{4}}$

Étape 2.10.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 (x^{2} + 5 x - 1) x$ .

$\frac{x (x (2 x + 5)) + x (- 2 (x^{2} + 5 x - 1))}{x^{4}}$

Étape 2.10.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (x (2 x + 5)) + x (- 2 (x^{2} + 5 x - 1))$ .

$\frac{x (x (2 x + 5) - 2 (x^{2} + 5 x - 1))}{x^{4}}$

Étape 3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x (x (2 x + 5) - 2 (x^{2} + 5 x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x (2 x + 5) - 2 (x^{2} + 5 x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (2 x + 5) - 2 (x^{2} + 5 x - 1)}{x^{3}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 5 - 2 (x^{2} + 5 x - 1)}{x^{3}}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 5 - 2 x^{2} - 2 (5 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Étape 4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 5 - 2 x^{2} - 2 (5 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 5 - 2 x^{2} - 2 (5 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Étape 4.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 5 - 2 x^{2} - 2 (5 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Étape 4.3.1.3

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 \cdot x - 2 x^{2} - 2 (5 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Étape 4.3.1.4

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 2 x^{2} - 10 x - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Étape 4.3.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 2 x^{2} - 10 x + 2}{x^{3}}$

Étape 4.3.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{2} + 5 x - 2 x^{2} - 10 x + 2$ .

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Étape 4.3.2.1

Soustrayez $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{5 x + 0 - 10 x + 2}{x^{3}}$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $5 x$ et $0$ .

$\frac{5 x - 10 x + 2}{x^{3}}$

Étape 4.3.3

Soustrayez $10 x$ de $5 x$ .

$\frac{- 5 x + 2}{x^{3}}$

Étape 4.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 x$ .

$\frac{- (5 x) + 2}{x^{3}}$

Étape 4.5

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (5 x) - 1 (- 2)}{x^{3}}$

Étape 4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (5 x - 2)}{x^{3}}$

Étape 4.7

Réécrivez $- (5 x - 2)$ comme $- 1 (5 x - 2)$ .

$\frac{- 1 (5 x - 2)}{x^{3}}$

Étape 4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5 x - 2}{x^{3}}$