Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{3 x - 1}{\sqrt{x}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 3 x - 1$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Étape 4

Simplifiez

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 8

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (3 + 0) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 10

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 10.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \cdot x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

Étape 12

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

Étape 13

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Étape 14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Étape 15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

Étape 15.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

Étape 16

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Étape 17

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

Étape 18

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 19

Simplifiez

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Étape 19.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + (- (3 x) - - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 19.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 19.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 19.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.3.1.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - 3 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 19.3.1.2

Multipliez $- 3 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 19.3.1.2.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + x \frac{- 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 19.3.1.2.2

Associez $x$ et $\frac{- 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 19.3.1.3

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot - 3 x^{- \frac{1}{2}}}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 19.3.1.4

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 19.3.1.4.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{- \frac{1}{2}} x \cdot - 3}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 19.3.1.4.2

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 19.3.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \cdot - 3}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 19.3.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot - 3}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 19.3.1.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot - 3}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 19.3.1.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot - 3}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 19.3.1.4.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 19.3.1.5

Déplacez $- 3$ à gauche de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 19.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 19.3.1.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 19.3.1.8

Multipliez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 19.3.2

Pour écrire $3 x^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 19.3.3

Associez $3 x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 19.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 19.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 19.3.5.1

Factorisez $3 x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - 3 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 19.3.5.1.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 19.3.5.1.2

Factorisez $3 x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $3 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}} (2) - 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 19.3.5.1.3

Factorisez $3 x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}} (2) + 3 x^{\frac{1}{2}} (- 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 19.3.5.1.4

Factorisez $3 x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $3 x^{\frac{1}{2}} (2) + 3 x^{\frac{1}{2}} (- 1)$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}} (2 - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 19.3.5.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 19.3.5.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 19.4

Associez des termes.

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Étape 19.4.1

Multipliez $\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ par $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 19.4.2

Associez.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Étape 19.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Étape 19.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x^{\frac{1}{2}}) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Étape 19.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Étape 19.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (3 x^{\frac{1}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Étape 19.4.5

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 19.4.5.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Étape 19.4.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Étape 19.4.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Étape 19.4.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{\frac{2}{2}} \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Étape 19.4.5.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{1} \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Étape 19.4.6

Simplifiez $x^{1} \cdot 3$ .

$\frac{x \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Étape 19.4.7

Annulez le facteur commun de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 19.4.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Étape 19.4.7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \cdot 3 + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Étape 19.4.8

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{3 \cdot x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Étape 19.4.9

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

Étape 19.4.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x + 1}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

Étape 19.4.11

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{3 x + 1}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 19.4.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x + 1}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Étape 19.4.13

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{3 x + 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$