Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{4}{x^{4}} - 5 \sqrt[3]{x}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{4}{x^{4}} - 5 \sqrt[3]{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{4}}]$ .

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Étape 2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4}{x^{4}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{4}}$ comme ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{4}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4}$ .

$4 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Étape 2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Étape 2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Étape 2.5.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$4 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Étape 2.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$4 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Étape 2.7

Multipliez $x^{- 8}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.7.1

Déplacez $x^{3}$ .

$4 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Étape 2.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Étape 2.7.3

Soustrayez $8$ de $3$ .

$4 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Étape 2.8

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$- 16 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$ .

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$- 16 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 3.2

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$- 16 x^{- 5} - 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$- 16 x^{- 5} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Étape 3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- 16 x^{- 5} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 3.5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$- 16 x^{- 5} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 16 x^{- 5} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 16 x^{- 5} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Étape 3.7.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$- 16 x^{- 5} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Étape 3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 16 x^{- 5} - 5 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Étape 3.9

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$- 16 x^{- 5} - 5 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 3.10

Associez $- 5$ et $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$- 16 x^{- 5} + \frac{- 5 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 3.11

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 16 x^{- 5} + \frac{- 5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 16 x^{- 5} - \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 16 \frac{1}{x^{5}} - \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Associez $- 16$ et $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- 16}{x^{5}} - \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{16}{x^{5}} - \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$