Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{4 x}{\ln (x)}$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x}{\ln (x)}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\ln (x)}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\ln (x)}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$4 \frac{\ln (x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \frac{\ln (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

Étape 3.2

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$4 \frac{\ln (x) - x \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

Étape 4

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$4 \frac{\ln (x) - x \frac{1}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $x$ .

$4 \frac{\ln (x) - \frac{x}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{\ln (x) - \frac{x}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 \frac{\ln (x) - 1 \cdot 1}{\ln^{2} (x)}$

Étape 5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 \frac{\ln (x) - 1}{\ln^{2} (x)}$

Étape 5.4

Associez $4$ et $\frac{\ln (x) - 1}{\ln^{2} (x)}$ .

$\frac{4 (\ln (x) - 1)}{\ln^{2} (x)}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 \ln (x) + 4 \cdot - 1}{\ln^{2} (x)}$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1

Simplifiez $4 \ln (x)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$\frac{\ln (x^{4}) + 4 \cdot - 1}{\ln^{2} (x)}$

Étape 6.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{\ln (x^{4}) - 4}{\ln^{2} (x)}$