Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{4 x}{3 x^{2} + 27}$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x}{3 x^{2} + 27}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x^{2} + 27}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x^{2} + 27}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 3 x^{2} + 27$ .

$4 \frac{(3 x^{2} + 27) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 27]}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \frac{(3 x^{2} + 27) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 27]}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez $3 x^{2} + 27$ par $1$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 27]}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 27$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 3.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [27])}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 3.6

Multipliez $2$ par $3$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (6 x + \frac{d}{d x} [27])}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 3.7

Comme $27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $27$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (6 x + 0)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 3.8

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.1

Additionnez $6 x$ et $0$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (6 x)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 3.8.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 x \cdot x}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 (x^{1} x)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 (x^{1} x^{1})}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 x^{1 + 1}}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 7

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 x^{2}}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 8

Soustrayez $6 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$4 \frac{- 3 x^{2} + 27}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 9

Associez $4$ et $\frac{- 3 x^{2} + 27}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{4 (- 3 x^{2} + 27)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (- 3 x^{2}) + 4 \cdot 27}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 10.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{- 12 x^{2} + 4 \cdot 27}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 10.2.2

Multipliez $4$ par $27$ .

$\frac{- 12 x^{2} + 108}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 10.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.1

Factorisez $12$ à partir de $- 12 x^{2} + 108$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.1.1

Factorisez $12$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$\frac{12 (- x^{2}) + 108}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 10.3.1.2

Factorisez $12$ à partir de $108$ .

$\frac{12 (- x^{2}) + 12 (9)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 10.3.1.3

Factorisez $12$ à partir de $12 (- x^{2}) + 12 (9)$ .

$\frac{12 (- x^{2} + 9)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 10.3.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{12 (- x^{2} + 3^{2})}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 10.3.3

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $3^{2}$ .

$\frac{12 (3^{2} - x^{2})}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 10.3.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3$ et $b = x$ .

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 10.4

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 27$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{{(3 (x^{2}) + 27)}^{2}}$

Étape 10.4.1.2

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{{(3 x^{2} + 3 \cdot 9)}^{2}}$

Étape 10.4.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 \cdot 9$ .

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{{(3 (x^{2} + 9))}^{2}}$

Étape 10.4.2

Appliquez la règle de produit à $3 (x^{2} + 9)$ .

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{3^{2} {(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 10.4.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{9 {(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 10.5

Annulez le facteur commun à $12$ et $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.5.1

Factorisez $3$ à partir de $12 (3 + x) (3 - x)$ .

$\frac{3 (4 (3 + x) (3 - x))}{9 {(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 10.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9 {(x^{2} + 9)}^{2}$ .

$\frac{3 (4 (3 + x) (3 - x))}{3 (3 {(x^{2} + 9)}^{2})}$

Étape 10.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (4 (3 + x) (3 - x))}{3 (3 {(x^{2} + 9)}^{2})}$

Étape 10.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 (3 + x) (3 - x)}{3 {(x^{2} + 9)}^{2}}$