Calcul infinitésimal Exemples

$4^{6 - x^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 4^{x}$ et $g (x) = 6 - x^{2}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [4^{u}] \frac{d}{d x} [6 - x^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $4$ .

$4^{u} \ln (4) \frac{d}{d x} [6 - x^{2}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 - x^{2}$ .

$4^{6 - x^{2}} \ln (4) \frac{d}{d x} [6 - x^{2}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$4^{6 - x^{2}} \ln (4) (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 2.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4^{6 - x^{2}} \ln (4) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$4^{6 - x^{2}} \ln (4) \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4^{6 - x^{2}} \ln (4) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4^{6 - x^{2}} \ln (4) (- (2 x))$

Étape 2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4^{6 - x^{2}} \ln (4) (- 2 x)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réorganisez les facteurs de $4^{6 - x^{2}} \ln (4) (- 2 x)$ .

$- 2 \cdot 4^{6 - x^{2}} x \ln (4)$

Étape 3.2

Multipliez $- 2 \cdot 4^{6 - x^{2}}$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez le signe négatif.

$- (2 \cdot 4^{6 - x^{2}}) x \ln (4)$

Étape 3.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- (2 \cdot {(2^{2})}^{6 - x^{2}}) x \ln (4)$

Étape 3.2.3

Multipliez les exposants dans ${(2^{2})}^{6 - x^{2}}$ .

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Étape 3.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2 \cdot 2^{2 (6 - x^{2})}) x \ln (4)$

Étape 3.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- (2 \cdot 2^{2 \cdot 6 + 2 (- x^{2})}) x \ln (4)$

Étape 3.2.3.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$- (2 \cdot 2^{12 + 2 (- x^{2})}) x \ln (4)$

Étape 3.2.3.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- (2 \cdot 2^{12 - 2 x^{2}}) x \ln (4)$

Étape 3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2^{1 + 12 - 2 x^{2}} x \ln (4)$

Étape 3.2.5

Additionnez $1$ et $12$ .

$- 2^{13 - 2 x^{2}} x \ln (4)$

Étape 3.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 2^{13 - 2 x^{2}} x \ln (4)$ .

$- x \cdot 2^{13 - 2 x^{2}} \ln (4)$