Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{6 x + 1}{3 x - 7}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 6 x + 1$ et $g (x) = 3 x - 7$ .

$\frac{(3 x - 7) \frac{d}{d x} [6 x + 1] - (6 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 7]}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(3 x - 7) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (6 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 7]}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x - 7) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (6 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 7]}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(3 x - 7) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (6 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 7]}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Étape 2.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{(3 x - 7) (6 + \frac{d}{d x} [1]) - (6 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 7]}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Étape 2.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(3 x - 7) (6 + 0) - (6 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 7]}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $6$ et $0$ .

$\frac{(3 x - 7) \cdot 6 - (6 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 7]}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Déplacez $6$ à gauche de $3 x - 7$ .

$\frac{6 \cdot (3 x - 7) - (6 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 7]}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{6 (3 x - 7) - (6 x + 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 7])}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Étape 2.8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6 (3 x - 7) - (6 x + 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{6 (3 x - 7) - (6 x + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Étape 2.10

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{6 (3 x - 7) - (6 x + 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 7])}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Étape 2.11

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{6 (3 x - 7) - (6 x + 1) (3 + 0)}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Étape 2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.12.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{6 (3 x - 7) - (6 x + 1) \cdot 3}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Étape 2.12.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{6 (3 x - 7) - 3 (6 x + 1)}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 (3 x) + 6 \cdot - 7 - 3 (6 x + 1)}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 (3 x) + 6 \cdot - 7 - 3 (6 x) - 3 \cdot 1}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Associez les termes opposés dans $6 (3 x) + 6 \cdot - 7 - 3 (6 x) - 3 \cdot 1$ .

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Étape 3.3.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $6 (3 x)$ et $- 3 (6 x)$ .

$\frac{3 \cdot 6 x + 6 \cdot - 7 - 3 \cdot 6 x - 3 \cdot 1}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Soustrayez $3 \cdot 6 x$ de $3 \cdot 6 x$ .

$\frac{6 \cdot - 7 + 0 - 3 \cdot 1}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.3.1.3

Additionnez $6 \cdot - 7$ et $0$ .

$\frac{6 \cdot - 7 - 3 \cdot 1}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $6$ par $- 7$ .

$\frac{- 42 - 3 \cdot 1}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{- 42 - 3}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Soustrayez $3$ de $- 42$ .

$\frac{- 45}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{45}{{(3 x - 7)}^{2}}$