Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{5}{\sqrt[3]{x}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5}{x^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Étape 3.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{3}}]$

Étape 3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{3}}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{3}$ .

$5 (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1})$

Étape 5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$5 (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 6

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$5 (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$5 (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 3}{3}})$

Étape 8.2

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$5 (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 4}{3}})$

Étape 9

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 (- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}})$

Étape 10

Associez $x^{- \frac{4}{3}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$5 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Étape 11

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- 5 \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$

Étape 12

Associez $- 5$ et $\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$ .

$\frac{- 5 x^{- \frac{4}{3}}}{3}$

Étape 13

Simplifiez l’expression.

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Étape 13.1

Placez $x^{- \frac{4}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 5}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{3 x^{\frac{4}{3}}}$