Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{5 x}{\sec (5 x)}$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5 x}{\sec (5 x)}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\sec (5 x)}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\sec (5 x)}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sec (5 x)$ .

$5 \frac{\sec (5 x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\sec (5 x)]}{\sec^{2} (5 x)}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \frac{\sec (5 x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\sec (5 x)]}{\sec^{2} (5 x)}$

Étape 3.2

Multipliez $\sec (5 x)$ par $1$ .

$5 \frac{\sec (5 x) - x \frac{d}{d x} [\sec (5 x)]}{\sec^{2} (5 x)}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x$ .

$5 \frac{\sec (5 x) - x (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [5 x])}{\sec^{2} (5 x)}$

Étape 4.2

La dérivée de $\sec (u)$ par rapport à $u$ est $\sec (u) \tan (u)$ .

$5 \frac{\sec (5 x) - x (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [5 x])}{\sec^{2} (5 x)}$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x$ .

$5 \frac{\sec (5 x) - x (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\sec^{2} (5 x)}$

Étape 5

Factorisez $\sec (5 x)$ à partir de $\sec (5 x) - x (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Multipliez par $1$ .

$5 \frac{\sec (5 x) \cdot 1 - x (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\sec^{2} (5 x)}$

Étape 5.2

Factorisez $\sec (5 x)$ à partir de $- x (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$ .

$5 \frac{\sec (5 x) \cdot 1 + \sec (5 x) (- x (\tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))}{\sec^{2} (5 x)}$

Étape 5.3

Factorisez $\sec (5 x)$ à partir de $\sec (5 x) \cdot 1 + \sec (5 x) (- x (\tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$ .

$5 \frac{\sec (5 x) (1 - x (\tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))}{\sec^{2} (5 x)}$

Étape 6

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Factorisez $\sec (5 x)$ à partir de $\sec^{2} (5 x)$ .

$5 \frac{\sec (5 x) (1 - x (\tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))}{\sec (5 x) \sec (5 x)}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{\sec (5 x) (1 - x (\tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))}{\sec (5 x) \sec (5 x)}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$5 \frac{1 - x (\tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\sec (5 x)}$

Étape 7

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{1 - x (\tan (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))}{\sec (5 x)}$

Étape 8

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$5 \frac{1 - 5 x (\tan (5 x) (\frac{d}{d x} [x]))}{\sec (5 x)}$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \frac{1 - 5 x (\tan (5 x) \cdot 1)}{\sec (5 x)}$

Étape 10

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Multipliez $\tan (5 x)$ par $1$ .

$5 \frac{1 - 5 x \tan (5 x)}{\sec (5 x)}$

Étape 10.2

Associez $5$ et $\frac{1 - 5 x \tan (5 x)}{\sec (5 x)}$ .

$\frac{5 (1 - 5 x \tan (5 x))}{\sec (5 x)}$

Étape 11

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- 5 x \tan (5 x))}{\sec (5 x)}$

Étape 11.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{5 + 5 (- 5 x \tan (5 x))}{\sec (5 x)}$

Étape 11.2.2

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$\frac{5 - 25 x \tan (5 x)}{\sec (5 x)}$

Étape 11.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 25 x \tan (5 x) + 5}{\sec (5 x)}$