Calcul infinitésimal Exemples

$e^{\sqrt[5]{x}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{x}$ comme $x^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{5}}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{5}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{5}}$ .

$e^{x^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{5}$ .

$e^{x^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1})$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$e^{x^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$e^{x^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{x^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}})$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$e^{x^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}})$

Étape 7.2

Soustrayez $5$ de $1$ .

$e^{x^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}})$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{x^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}})$

Étape 9

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$e^{x^{\frac{1}{5}}} \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$

Étape 10

Associez $e^{x^{\frac{1}{5}}}$ et $\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{5}}} x^{- \frac{4}{5}}}{5}$

Étape 11

Placez $x^{- \frac{4}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{5}}}}{5 x^{\frac{4}{5}}}$