Calcul infinitésimal Exemples

$e^{1 + \ln (x)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 1 + \ln (x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + \ln (x)$ .

$e^{1 + \ln (x)} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$e^{1 + \ln (x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{1 + \ln (x)} (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$e^{1 + \ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$e^{1 + \ln (x)} \frac{1}{x}$

Étape 4

Associez $e^{1 + \ln (x)}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{1 + \ln (x)}}{x}$