Calcul infinitésimal Exemples

$e^{\frac{1}{9 x}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \frac{1}{9 x}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{1}{9 x}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{9 x}$ .

$e^{\frac{1}{9 x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{9 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$e^{\frac{1}{9 x}} (\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Étape 2.2

Associez les fractions.

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Étape 2.2.1

Associez $\frac{1}{9}$ et $e^{\frac{1}{9 x}}$ .

$\frac{e^{\frac{1}{9 x}}}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\frac{e^{\frac{1}{9 x}}}{9} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{e^{\frac{1}{9 x}}}{9} (- x^{- 2})$

Étape 2.4

Associez les fractions.

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Étape 2.4.1

Associez $\frac{e^{\frac{1}{9 x}}}{9}$ et $x^{- 2}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{9 x}} x^{- 2}}{9}$

Étape 2.4.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{9 x}}}{9 x^{2}}$