Calcul infinitésimal Exemples

$\csc^{2} (3 x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \csc (3 x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\csc (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\csc (3 x)$ .

$2 \csc (3 x) \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x$ .

$2 \csc (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.2

La dérivée de $\csc (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$2 \csc (3 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x$ .

$2 \csc (3 x) (- \csc (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \csc (3 x) (\csc (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 4

Élevez $\csc (3 x)$ à la puissance $1$ .

$- 2 (\csc^{1} (3 x) \csc (3 x)) (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 5

Élevez $\csc (3 x)$ à la puissance $1$ .

$- 2 (\csc^{1} (3 x) \csc^{1} (3 x)) (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 {\csc (3 x)}^{1 + 1} (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 7

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 2 \csc^{2} (3 x) (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \csc^{2} (3 x) \cot (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 9

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$- 6 \csc^{2} (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 6 \csc^{2} (3 x) \cot (3 x) \cdot 1$

Étape 11

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$- 6 \csc^{2} (3 x) \cot (3 x)$