Calcul infinitésimal Exemples

$arccsc (5 x^{2} + 1)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = arccsc (x)$ et $g (x) = 5 x^{2} + 1$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [arccsc (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 1]$

Étape 1.2

La dérivée de $arccsc (u)$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 1]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 1]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{1}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{1}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$- \frac{1}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (10 x + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{1}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (10 x + 0)$

Étape 2.6

Associez les fractions.

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Étape 2.6.1

Additionnez $10 x$ et $0$ .

$- \frac{1}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (10 x)$

Étape 2.6.2

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$- 10 \frac{1}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}} x$

Étape 2.6.3

Associez $- 10$ et $\frac{1}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$ .

$\frac{- 10}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}} x$

Étape 2.6.4

Associez $\frac{- 10}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$ et $x$ .

$\frac{- 10 x}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$

Étape 2.6.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{10 x}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$