Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\csc (4 x)}{2 e^{3 x}}$

Étape 1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{\csc (4 x)}{2 e^{3 x}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{\csc (4 x)}{e^{3 x}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{\csc (4 x)}{e^{3 x}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \csc (4 x)$ et $g (x) = e^{3 x}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [\csc (4 x)] - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{{(e^{3 x})}^{2}}$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${(e^{3 x})}^{2}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [\csc (4 x)] - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{3 x \cdot 2}}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [\csc (4 x)] - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $4 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]) - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Étape 4.2

La dérivée de $\csc (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]) - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- \csc (4 x) \cot (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])) - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Étape 5.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [x]) - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x) \cdot 1) - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Étape 5.4

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - \csc (4 x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - \csc (4 x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Étape 6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - \csc (4 x) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Étape 7

Différenciez.

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Étape 7.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - \csc (4 x) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

Étape 7.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - 3 \csc (4 x) (e^{3 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

Étape 7.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - 3 \csc (4 x) (e^{3 x} \cdot 1)}{e^{6 x}}$

Étape 7.4

Associez les fractions.

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Étape 7.4.1

Multipliez $e^{3 x}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - 3 \csc (4 x) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Étape 7.4.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - 3 \csc (4 x) e^{3 x}}{e^{6 x}}$ .

$\frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - 3 \csc (4 x) e^{3 x}}{2 e^{6 x}}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 4 e^{3 x} (\csc (4 x) \cot (4 x)) - 3 \csc (4 x) e^{3 x}}{2 e^{6 x}}$

Étape 8.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 4 e^{3 x} (\csc (4 x) \cot (4 x)) - 3 \csc (4 x) e^{3 x}$ .

$\frac{- 4 e^{3 x} \csc (4 x) \cot (4 x) - 3 e^{3 x} \csc (4 x)}{2 e^{6 x}}$

Étape 8.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 4 e^{3 x} \cot (4 x) \csc (4 x) - 3 e^{3 x} \csc (4 x)}{2 e^{6 x}}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1

Factorisez $e^{3 x} \csc (4 x)$ à partir de $- 4 e^{3 x} \cot (4 x) \csc (4 x) - 3 e^{3 x} \csc (4 x)$ .

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Étape 8.3.1.1

Factorisez $e^{3 x} \csc (4 x)$ à partir de $- 4 e^{3 x} \cot (4 x) \csc (4 x)$ .

$\frac{e^{3 x} \csc (4 x) (- 4 \cot (4 x)) - 3 e^{3 x} \csc (4 x)}{2 e^{6 x}}$

Étape 8.3.1.2

Factorisez $e^{3 x} \csc (4 x)$ à partir de $- 3 e^{3 x} \csc (4 x)$ .

$\frac{e^{3 x} \csc (4 x) (- 4 \cot (4 x)) + e^{3 x} \csc (4 x) (- 3)}{2 e^{6 x}}$

Étape 8.3.1.3

Factorisez $e^{3 x} \csc (4 x)$ à partir de $e^{3 x} \csc (4 x) (- 4 \cot (4 x)) + e^{3 x} \csc (4 x) (- 3)$ .

$\frac{e^{3 x} \csc (4 x) (- 4 \cot (4 x) - 3)}{2 e^{6 x}}$

Étape 8.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 \cot (4 x) - 3$ .

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Étape 8.3.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 \cot (4 x)$ .

$\frac{e^{3 x} \csc (4 x) (- (4 \cot (4 x)) - 3)}{2 e^{6 x}}$

Étape 8.3.2.2

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{e^{3 x} \csc (4 x) (- (4 \cot (4 x)) - 1 (3))}{2 e^{6 x}}$

Étape 8.3.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 \cot (4 x)) - 1 (3)$ .

$\frac{e^{3 x} \csc (4 x) (- (4 \cot (4 x) + 3))}{2 e^{6 x}}$

$\frac{e^{3 x} \csc (4 x) \cdot - 1 (4 \cot (4 x) + 3)}{2 e^{6 x}}$

Étape 8.3.3

Factorisez le signe négatif.

$\frac{- e^{3 x} \csc (4 x) (4 \cot (4 x) + 3)}{2 e^{6 x}}$

Étape 8.4

Annulez le facteur commun à $e^{3 x}$ et $e^{6 x}$ .

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Étape 8.4.1

Factorisez $e^{6 x}$ à partir de $- e^{3 x} \csc (4 x) (4 \cot (4 x) + 3)$ .

$\frac{e^{6 x} (- e^{- 3 x} \csc (4 x) (4 \cot (4 x) + 3))}{2 e^{6 x}}$

Étape 8.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.4.2.1

Factorisez $e^{6 x}$ à partir de $2 e^{6 x}$ .

$\frac{e^{6 x} (- e^{- 3 x} \csc (4 x) (4 \cot (4 x) + 3))}{e^{6 x} \cdot 2}$

Étape 8.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{6 x} (- e^{- 3 x} \csc (4 x) (4 \cot (4 x) + 3))}{e^{6 x} \cdot 2}$

Étape 8.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- e^{- 3 x} \csc (4 x) (4 \cot (4 x) + 3)}{2}$

Étape 8.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{e^{- 3 x} \csc (4 x) (4 \cot (4 x) + 3)}{2}$