Calcul infinitésimal Exemples

$arccot (x) + arccot (\frac{1}{x})$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $arccot (x) + arccot (\frac{1}{x})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [arccot (x)] + \frac{d}{d x} [arccot (\frac{1}{x})]$ .

$\frac{d}{d x} [arccot (x)] + \frac{d}{d x} [arccot (\frac{1}{x})]$

Étape 2

La dérivée de $arccot (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$- \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [arccot (\frac{1}{x})]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [arccot (\frac{1}{x})]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = arccot (x)$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d u} [arccot (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $arccot (u)$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$- \frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$- \frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- \frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} (- x^{- 2})$

Étape 3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{1 + x^{2}} + 1 \frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} x^{- 2}$

Étape 3.5

Multipliez $\frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$ par $1$ .

$- \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} x^{- 2}$

Étape 3.6

Associez $\frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$ et $x^{- 2}$ .

$- \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{x^{- 2}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$

Étape 3.7

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{(1 + {(\frac{1}{x})}^{2}) x^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{(1 + \frac{1^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 x^{2} + \frac{1^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Étape 4.3

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$- \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + \frac{1^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Étape 4.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{x^{2}} x^{2}}$

Étape 4.3.3

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $x^{2}$ .

$- \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 1}$

Étape 4.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x^{2} + 1}$

Étape 4.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 + 1}{x^{2} + 1}$

Étape 4.3.7

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{0}{x^{2} + 1}$

Étape 4.4

Divisez $0$ par $x^{2} + 1$ .

$0$