Calcul infinitésimal Exemples

$\cos^{2} (\cos (x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (\cos (x))$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (\cos (x))]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (\cos (x))]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos (\cos (x))$ .

$2 \cos (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (\cos (x))]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\cos (x)$ .

$2 \cos (\cos (x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 2.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (\cos (x)) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\cos (x)$ .

$2 \cos (\cos (x)) (- \sin (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \cos (\cos (x)) (\sin (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- 2 \cos (\cos (x)) \sin (\cos (x)) (- \sin (x))$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 \cos (\cos (x)) \sin (\cos (x)) \sin (x)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réorganisez les facteurs de $2 \cos (\cos (x)) \sin (\cos (x)) \sin (x)$ .

$2 \cos (\cos (x)) \sin (x) \sin (\cos (x))$

Étape 6.2

Remettez dans l’ordre $2 \cos (\cos (x)) \sin (x)$ et $\sin (\cos (x))$ .

$\sin (\cos (x)) (2 \cos (\cos (x)) \sin (x))$

Étape 6.3

Déplacez les parenthèses.

$\sin (\cos (x)) (2 \cos (\cos (x))) \sin (x)$

Étape 6.4

Remettez dans l’ordre $\sin (\cos (x))$ et $2$ .

$2 \cdot \sin (\cos (x)) \cos (\cos (x)) \sin (x)$

Étape 6.5

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\sin (2 \cos (x)) \sin (x)$