Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\arctan (x) - \frac{π}{4}}{x - 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \arctan (x) - \frac{π}{4}$ et $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [\arctan (x) - \frac{π}{4}] - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\arctan (x) - \frac{π}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]) - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3

La dérivée de $\arctan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]) - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $- \frac{π}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{π}{4}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{1}{1 + x^{2}} + 0) - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Additionnez $\frac{1}{1 + x^{2}}$ et $0$ .

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 + x^{2}} - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 + x^{2}} - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 + x^{2}} - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 + x^{2}} - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 + x^{2}} - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 + x^{2}} - (\arctan (x) - \frac{π}{4})}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 + x^{2}} - \arctan (x) - - \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $x - 1$ par $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{\frac{x - 1}{1 + x^{2}} - \arctan (x) - - \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- - \frac{π}{4}$ .

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Étape 5.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{x - 1}{1 + x^{2}} - \arctan (x) + 1 \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.1.2.2

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $1$ .

$\frac{\frac{x - 1}{1 + x^{2}} - \arctan (x) + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.2

Pour écrire $- \arctan (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{\frac{x - 1}{1 + x^{2}} - \arctan (x) \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.3

Associez $- \arctan (x)$ et $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{\frac{x - 1}{1 + x^{2}} + \frac{- \arctan (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x - 1 - \arctan (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{x - 1 - \arctan (x) \cdot 1 - \arctan (x) x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\frac{x - 1 - \arctan (x) - \arctan (x) x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.5.1.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\frac{- x^{2} \arctan (x) + x - 1 - \arctan (x)}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.5.1.4

Réécrivez $- x^{2} \arctan (x) + x - 1 - \arctan (x)$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.5.1.4.1

Regroupez les termes.

$\frac{\frac{- 1 - x^{2} \arctan (x) + x - \arctan (x)}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.5.1.4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2} \arctan (x) + x - \arctan (x)$ .

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Étape 5.2.5.1.4.2.1

Remettez dans l’ordre $- x^{2} \arctan (x)$ et $x$ .

$\frac{\frac{- 1 + x - x^{2} \arctan (x) - \arctan (x)}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.5.1.4.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{\frac{- 1 - 1 (- x) - x^{2} \arctan (x) - \arctan (x)}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.5.1.4.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2} \arctan (x)$ .

$\frac{\frac{- 1 - 1 (- x) - (x^{2} \arctan (x)) - \arctan (x)}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.5.1.4.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- \arctan (x)$ .

$\frac{\frac{- 1 - 1 (- x) - (x^{2} \arctan (x)) - (\arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.5.1.4.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - (x^{2} \arctan (x))$ .

$\frac{\frac{- 1 - 1 (- x + x^{2} \arctan (x)) - (\arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.5.1.4.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x + x^{2} \arctan (x)) - (\arctan (x))$ .

$\frac{\frac{- 1 - 1 (- x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.5.1.4.2.7

Réécrivez $- 1 (- x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))$ comme $- (- x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))$ .

$\frac{\frac{- 1 - (- x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.5.1.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\frac{- 1 - (x^{2} \arctan (x) - x + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.5.1.4.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 - (x^{2} \arctan (x) - x + \arctan (x))$ .

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Étape 5.2.5.1.4.4.1

Remettez dans l’ordre $x^{2} \arctan (x)$ et $- x$ .

$\frac{\frac{- 1 - (- x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.5.1.4.4.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{\frac{- 1 (1) - (- x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.5.1.4.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (- x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))$ .

$\frac{\frac{- 1 (1 - x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.5.1.4.4.4

Réécrivez $- 1 (1 - x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))$ comme $- (1 - x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))$ .

$\frac{\frac{- (1 - x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.5.1.4.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\frac{- (x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \frac{x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.6

Pour écrire $- \frac{x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)}{1 + x^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)}{1 + x^{2}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.7

Pour écrire $\frac{π}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)}{1 + x^{2}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 + x^{2}) \cdot 4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.2.8.1

Multipliez $\frac{x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)}{1 + x^{2}}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- \frac{(x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)) \cdot 4}{(1 + x^{2}) \cdot 4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.8.2

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{- \frac{(x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)) \cdot 4}{(1 + x^{2}) \cdot 4} + \frac{π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.8.3

Réorganisez les facteurs de $(1 + x^{2}) \cdot 4$ .

$\frac{- \frac{(x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)) \cdot 4}{4 (1 + x^{2})} + \frac{π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{- (x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{(- (x^{2} \arctan (x)) - - x - 1 \cdot 1 - \arctan (x)) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.10.2

Simplifiez

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Étape 5.2.10.2.1

Multipliez $- - x$ .

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Étape 5.2.10.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{(- x^{2} \arctan (x) + 1 x - 1 \cdot 1 - \arctan (x)) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.10.2.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\frac{(- x^{2} \arctan (x) + x - 1 \cdot 1 - \arctan (x)) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.10.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\frac{(- x^{2} \arctan (x) + x - 1 - \arctan (x)) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{- x^{2} \arctan (x) \cdot 4 + x \cdot 4 - 1 \cdot 4 - \arctan (x) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.10.4

Simplifiez

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Étape 5.2.10.4.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{- 4 x^{2} \arctan (x) + x \cdot 4 - 1 \cdot 4 - \arctan (x) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.10.4.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\frac{\frac{- 4 x^{2} \arctan (x) + 4 \cdot x - 1 \cdot 4 - \arctan (x) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.10.4.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{\frac{- 4 x^{2} \arctan (x) + 4 \cdot x - 4 - \arctan (x) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.10.4.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{- 4 x^{2} \arctan (x) + 4 \cdot x - 4 - 4 \arctan (x) + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.10.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{- 4 x^{2} \arctan (x) + 4 x - 4 - 4 \arctan (x) + π \cdot 1 + π x^{2}}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.10.6

Multipliez $π$ par $1$ .

$\frac{\frac{- 4 x^{2} \arctan (x) + 4 x - 4 - 4 \arctan (x) + π + π x^{2}}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.10.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\frac{- 4 x^{2} \arctan (x) + π x^{2} + 4 x - 4 + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 x^{2} \arctan (x)$ .

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x)) + π x^{2} + 4 x - 4 + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.12

Factorisez $- 1$ à partir de $π x^{2}$ .

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x)) - (- π x^{2}) + 4 x - 4 + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x^{2} \arctan (x)) - (- π x^{2})$ .

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2}) + 4 x - 4 + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.14

Factorisez $- 1$ à partir de $4 x$ .

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2}) - (- 4 x) - 4 + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.15

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2}) - (- 4 x)$ .

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x) - 4 + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.16

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x) - 1 (4) + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.17

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x) - 1 (4)$ .

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4) + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.18

Factorisez $- 1$ à partir de $π$ .

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4) - 1 (- π) - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.19

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4) - 1 (- π)$ .

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π) - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.20

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 \arctan (x)$ .

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π) - (4 \arctan (x))}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.21

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π) - (4 \arctan (x))$ .

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x))}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.22

Réécrivez $- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x))$ comme $- 1 (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x))$ .

$\frac{\frac{- 1 (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x))}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.23

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \frac{4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.3

Associez des termes.

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Étape 5.3.1

Réécrivez $\frac{- \frac{4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$ comme un produit.

$- \frac{4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})} \cdot \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Multipliez $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ par $\frac{4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}$ .

$- \frac{4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x)}{{(x - 1)}^{2} (4 (1 + x^{2}))}$

Étape 5.3.3

Déplacez $4$ à gauche de ${(x - 1)}^{2}$ .

$- \frac{4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x)}{4 {(x - 1)}^{2} (1 + x^{2})}$