Calcul infinitésimal Exemples

${\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 1.1

Réécrivez ${\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}}$ comme $e^{\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}})}]$

Étape 1.2

Développez $\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}})$ en déplaçant $\frac{1}{x^{2}}$ hors du logarithme.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x^{2}} \ln (\cos (x))}]$

Étape 2

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $\ln (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}]$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \ln (\cos (x))$ et $g (x) = x^{2}$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))] - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))] - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))] - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\cos (x)$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 6.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\cos (x)$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 7

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 8

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\sec (x) (- \sin (x))) - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 9.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\sec (x) (- \sin (x))) - \ln (\cos (x)) (2 x)}{x^{4}}$

Étape 9.2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 9.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)) x}{x^{4}}$

Étape 9.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)) x$ .

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Étape 9.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (\sec (x) (- \sin (x)))$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (x (\sec (x) (- \sin (x)))) - 2 \ln (\cos (x)) x}{x^{4}}$

Étape 9.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 \ln (\cos (x)) x$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (x (\sec (x) (- \sin (x)))) + x (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{4}}$

Étape 9.2.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (x (\sec (x) (- \sin (x)))) + x (- 2 \ln (\cos (x)))$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)))}{x^{4}}$

Étape 10

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 10.2

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 10.3

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x))}{x^{3}}$

Étape 11

Associez $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ et $\frac{x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x))}{x^{3}}$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (x (\sec (x) (- \sin (x)))) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

Étape 12.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \sec (x) \sin (x) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

Étape 12.2.1.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

Étape 12.2.1.3

Multipliez $- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Étape 12.2.1.3.1

Associez $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{- x \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{\cos (x)} \sin (x) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

Étape 12.2.1.3.2

Associez $\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{\cos (x)}$ et $x$ .

$\frac{- \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{\cos (x)} \sin (x) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

Étape 12.2.1.4

Associez $\sin (x)$ et $\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{\cos (x)}$ .

$\frac{- \frac{\sin (x) (e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x)}{\cos (x)} + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

Étape 12.2.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- \frac{\sin (x) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{\cos (x)} - 2 e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos (x))}{x^{3}}$

Étape 12.2.1.6

Multipliez $- 2 e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos (x))$ .

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Étape 12.2.1.6.1

Remettez dans l’ordre $\ln (\cos (x))$ et $- 2$ .

$\frac{- \frac{\sin (x) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{\cos (x)} - 2 \cdot \ln (\cos (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{x^{3}}$

Étape 12.2.1.6.2

Simplifiez $- 2 \cdot \ln (\cos (x))$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{- \frac{\sin (x) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{\cos (x)} - \ln (\cos^{2} (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{x^{3}}$

Étape 12.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.2.1

Séparez les fractions.

$\frac{- (\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \ln (\cos^{2} (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{x^{3}}$

Étape 12.2.2.2

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{- (\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{1} \tan (x)) - \ln (\cos^{2} (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{x^{3}}$

Étape 12.2.2.3

Divisez $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x$ par $1$ .

$\frac{- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \tan (x) - \ln (\cos^{2} (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{x^{3}}$

Étape 12.2.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \tan (x) - \ln (\cos^{2} (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ .

$\frac{- x e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \tan (x) - e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))}{x^{3}}$

Étape 12.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \tan (x) - e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))}{x^{3}}$

Étape 12.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.4.1

Factorisez $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ à partir de $- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \tan (x) - e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))$ .

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Étape 12.4.1.1

Déplacez $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ .

$\frac{- x e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \tan (x) - e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))}{x^{3}}$

Étape 12.4.1.2

Factorisez $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ à partir de $- x e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \tan (x)$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- x \tan (x)) - e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))}{x^{3}}$

Étape 12.4.1.3

Factorisez $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ à partir de $- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- x \tan (x)) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Étape 12.4.1.4

Factorisez $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ à partir de $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- x \tan (x)) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- \ln (\cos^{2} (x)))$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- x \tan (x) - \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Étape 12.4.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- x \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Étape 12.4.3

Associez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ et $x$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- \frac{\sin (x) x}{\cos (x)} - \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Étape 12.4.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{\sin (x) x}{\cos (x)} - \ln (\cos^{2} (x))$ .

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Étape 12.4.4.1

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $x$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- \frac{x \sin (x)}{\cos (x)} - \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Étape 12.4.4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{x \sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)}) - \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Étape 12.4.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)}) - (\ln (\cos^{2} (x))))}{x^{3}}$

Étape 12.4.4.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)}) - (\ln (\cos^{2} (x)))$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos^{2} (x))))}{x^{3}}$

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \cdot - 1 (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Étape 12.4.5

Factorisez le signe négatif.

$\frac{- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Étape 12.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Étape 12.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.6.1

Séparez les fractions.

$- \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (\frac{x}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Étape 12.6.2

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$- \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (\frac{x}{1} \tan (x) + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Étape 12.6.3

Divisez $x$ par $1$ .

$- \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (x \tan (x) + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$