Calcul infinitésimal Exemples

$- \frac{8}{x^{2} + 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{8}{x^{2} + 1}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 1}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 1}]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} + 1}$ comme ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$- 8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$- 8 (- {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$8 ({(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Étape 3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Associez $16$ et $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{16}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Étape 4.2.2

Associez $\frac{16}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ et $x$ .

$\frac{16 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$