Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{8 x}{1 - \cot (x)}$

Étape 1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{8 x}{1 - \cot (x)}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 - \cot (x)}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 - \cot (x)}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 1 - \cot (x)$ .

$8 \frac{(1 - \cot (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 - \cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 \frac{(1 - \cot (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 - \cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez $1 - \cot (x)$ par $1$ .

$8 \frac{1 - \cot (x) - x \frac{d}{d x} [1 - \cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cot (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ .

$8 \frac{1 - \cot (x) - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)])}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Étape 3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$8 \frac{1 - \cot (x) - x (0 + \frac{d}{d x} [- \cot (x)])}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Étape 3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ .

$8 \frac{1 - \cot (x) - x \frac{d}{d x} [- \cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Étape 3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$8 \frac{1 - \cot (x) - x (- \frac{d}{d x} [\cot (x)])}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Étape 3.7

Multipliez.

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Étape 3.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$8 \frac{1 - \cot (x) + 1 x \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Étape 3.7.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$8 \frac{1 - \cot (x) + x \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Étape 4

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$8 \frac{1 - \cot (x) + x (- \csc^{2} (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Étape 5

Associez $8$ et $\frac{1 - \cot (x) + x (- \csc^{2} (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$ .

$\frac{8 (1 - \cot (x) + x (- \csc^{2} (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 \cdot 1 + 8 (- \cot (x)) + 8 (x (- \csc^{2} (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1

Multipliez $8$ par $1$ .

$\frac{8 + 8 (- \cot (x)) + 8 (x (- \csc^{2} (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Étape 6.2.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{8 - 8 \cot (x) + 8 (x (- \csc^{2} (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Étape 6.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{8 - 8 \cot (x) + 8 (- x \csc^{2} (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Étape 6.2.4

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{8 - 8 \cot (x) - 8 x \csc^{2} (x)}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Étape 6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 8 x \csc^{2} (x) + 8 - 8 \cot (x)}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Étape 6.4

Factorisez $8$ à partir de $- 8 x \csc^{2} (x) + 8 - 8 \cot (x)$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $8$ à partir de $- 8 x \csc^{2} (x)$ .

$\frac{8 (- x \csc^{2} (x)) + 8 - 8 \cot (x)}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Étape 6.4.2

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$\frac{8 (- x \csc^{2} (x)) + 8 (1) - 8 \cot (x)}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Étape 6.4.3

Factorisez $8$ à partir de $- 8 \cot (x)$ .

$\frac{8 (- x \csc^{2} (x)) + 8 (1) + 8 (- \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Étape 6.4.4

Factorisez $8$ à partir de $8 (- x \csc^{2} (x)) + 8 (1)$ .

$\frac{8 (- x \csc^{2} (x) + 1) + 8 (- \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Étape 6.4.5

Factorisez $8$ à partir de $8 (- x \csc^{2} (x) + 1) + 8 (- \cot (x))$ .

$\frac{8 (- x \csc^{2} (x) + 1 - \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Étape 6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x \csc^{2} (x)$ .

$\frac{8 (- (x \csc^{2} (x)) + 1 - \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Étape 6.6

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{8 (- (x \csc^{2} (x)) - 1 (- 1) - \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Étape 6.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x \csc^{2} (x)) - 1 (- 1)$ .

$\frac{8 (- (x \csc^{2} (x) - 1) - \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Étape 6.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- \cot (x)$ .

$\frac{8 (- (x \csc^{2} (x) - 1) - (\cot (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Étape 6.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x \csc^{2} (x) - 1) - (\cot (x))$ .

$\frac{8 (- (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Étape 6.10

Réécrivez $- (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x))$ comme $- 1 (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x))$ .

$\frac{8 (- 1 (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Étape 6.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8 (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$