Calcul infinitésimal Exemples

$\log_{5} (2 x - 6)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \log_{5} (x)$ et $g (x) = 2 x - 6$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x - 6$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{5} (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 6]$

Étape 1.2

La dérivée de $\log_{5} (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u \ln (5)} \frac{d}{d x} [2 x - 6]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 6$ .

$\frac{1}{(2 x - 6) \ln (5)} \frac{d}{d x} [2 x - 6]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{1}{(2 x - 6) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{(2 x - 6) \ln (5)} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{(2 x - 6) \ln (5)} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{(2 x - 6) \ln (5)} (2 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 2.5

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{(2 x - 6) \ln (5)} (2 + 0)$

Étape 2.6

Simplifiez les termes.

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Étape 2.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{1}{(2 x - 6) \ln (5)} \cdot 2$

Étape 2.6.2

Associez $\frac{1}{(2 x - 6) \ln (5)}$ et $2$ .

$\frac{2}{(2 x - 6) \ln (5)}$

Étape 2.6.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $2 x - 6$ .

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Étape 2.6.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 1}{(2 x - 6) \ln (5)}$

Étape 2.6.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $(2 x - 6) \ln (5)$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 ((x - 3) \ln (5))}$

Étape 2.6.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 ((x - 3) \ln (5))}$

Étape 2.6.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{(x - 3) \ln (5)}$

Étape 2.6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{x \ln (5) - 3 \ln (5)}$