Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sin (2 x)}{1 + \cos^{2} (x)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \sin (2 x)$ et $g (x) = 1 + \cos^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) (2 \cdot 1) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Étape 3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $(1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x)$ .

$\frac{2 \cdot ((1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x)) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Étape 3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Étape 3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Étape 3.6

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\cos (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\cos (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Étape 5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - 2 \sin (2 x) (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Étape 6

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - 2 \sin (2 x) \cos (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Étape 7

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) + 2 \sin (2 x) \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 \cos^{2} (x)) \cos (2 x) + 2 \sin (2 x) \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 1 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + 2 \sin (2 x) \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Étape 8.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + 2 \sin (2 x) \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Étape 8.3.2

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + 2 \sin (2 x) (\cos (x) \sin (x))}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Étape 8.3.3

Remettez dans l’ordre $2 \sin (2 x)$ et $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + \cos (x) \sin (x) (2 \sin (2 x))}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Étape 8.3.4

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + \cos (x) (\sin (x) \cdot 2) \sin (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Étape 8.3.5

Remettez dans l’ordre $\cos (x)$ et $\sin (x) \cdot 2$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + \sin (x) \cdot 2 \cos (x) \sin (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Étape 8.3.6

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) \sin (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Étape 8.3.7

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \sin (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Étape 8.3.8

Multipliez $\sin (2 x) \sin (2 x)$ .

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Étape 8.3.8.1

Élevez $\sin (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + \sin^{1} (2 x) \sin (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Étape 8.3.8.2

Élevez $\sin (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Étape 8.3.8.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + {\sin (2 x)}^{1 + 1}}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Étape 8.3.8.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Étape 8.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (2 x) + \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$