Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sin (5 x)}{x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \sin (5 x)$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] - \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]) - \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\frac{x (\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x]) - \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x$ .

$\frac{x (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) - \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) - \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x (\cos (5 x) (5 \cdot 1)) - \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{x (\cos (5 x) \cdot 5) - \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.3.2

Déplacez $5$ à gauche de $\cos (5 x)$ .

$\frac{x (5 \cdot \cos (5 x)) - \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x (5 \cos (5 x)) - \sin (5 x) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 3.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x (5 \cos (5 x)) - \sin (5 x)}{x^{2}}$

Étape 3.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{5 x \cos (5 x) - \sin (5 x)}{x^{2}}$